. a) Determinar v(t), a(t). b) Calcular vm entre
. c) Determinar o módulo do deslocamento.
Passo 1
O enunciado dá a função de posição
As perguntas são:
- (a) Determinar
e . - (b) Calcular
(velocidade média) entre e . - (c) Determinar o módulo do deslocamento entre
e .
Informações relevantes fornecidas:
- A posição é dada componente a componente em função de
. - Para (b) e (c) vamos usar os instantes
e . - Não há mais dados externos; tudo o que precisamos está em
.
Passo 2
Conceito e fórmula para derivar vetor posição: a velocidade é a derivada temporal da posição componente a componente. Ou seja, se
então
Regra que vamos usar (regra do poder): para
temos
. Para uma constante multiplicativa
,
.
Passo 3
Aplicando a regra componente a componente a
:
- Para a componente em
: . Usando , obtemos . - Para a componente em
: . Usando a regra do poder, . - Para a componente em
: . Usando a regra do poder, .
Portanto a velocidade é
Passo 4
Conceito e fórmula para aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade, também componente a componente:
Agora derivamos cada componente de
:
-
é constante, então . -
tem derivada . -
tem derivada .
Logo
Passo 5
Definição de velocidade média entre
e
: é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo,
Aqui
e
. Primeiro calculemos
e
.
Passo 6
Calculando
:
- Componente
: em dá . - Componente
: em dá . - Componente
: em dá .
Portanto
E claramente
Passo 7
A variação de posição (deslocamento vetorial) é
Agora a velocidade média:
Passo 8
Para o módulo do deslocamento usamos a norma Euclidiana do vetor
. A fórmula da norma de um vetor
é
Aplicando:
Simplificando
, temos