\mathrm{r}(\mathrm{t})=(3 \mathrm{t}) \mathrm{i}+\left(2 \mathrm{t}^{2}\right) \mathrm{j}+\left(\mathrm{t}^{3}\right) \mathrm{k}. a) Determinar v(t), a(t). b) Calcular vm entre \mathrm{t}=0 \mathrm{et}=2. c) Determinar o módulo do deslocamento.

Passo 1

O enunciado dá a função de posição
\mathbf{r}(t) = (3t)\,\mathbf{i} + (2t^{2})\,\mathbf{j} + (t^{3})\,\mathbf{k}.
As perguntas são:
  • (a) Determinar \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t).
  • (b) Calcular \mathbf{v}_{m} (velocidade média) entre t=0 e t=2.
  • (c) Determinar o módulo do deslocamento entre t=0 e t=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição é dada componente a componente em função de t.
  • Para (b) e (c) vamos usar os instantes t_{1}=0 e t_{2}=2.
  • Não há mais dados externos; tudo o que precisamos está em \mathbf{r}(t).

Passo 2

Conceito e fórmula para derivar vetor posição: a velocidade é a derivada temporal da posição componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} + z(t)\,\mathbf{k},
então
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} = x'(t)\,\mathbf{i}+y'(t)\,\mathbf{j}+z'(t)\,\mathbf{k}.
Regra que vamos usar (regra do poder): para x(t)=t^{n} temos x'(t)=n t^{n-1}. Para uma constante multiplicativa a, (a\,t^{n})' = a\cdot n t^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a regra componente a componente a \mathbf{r}(t):
  • Para a componente em \mathbf{i}: x(t)=3t. Usando (at)'=a, obtemos x'(t)=3.
  • Para a componente em \mathbf{j}: y(t)=2t^{2}. Usando a regra do poder, y'(t)=2\cdot 2t^{1}=4t.
  • Para a componente em \mathbf{k}: z(t)=t^{3}. Usando a regra do poder, z'(t)=3t^{2}.
Portanto a velocidade é
\mathbf{v}(t)=3\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}+3t^{2}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Conceito e fórmula para aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade, também componente a componente:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} = v_{x}'(t)\,\mathbf{i}+v_{y}'(t)\,\mathbf{j}+v_{z}'(t)\,\mathbf{k}.
Agora derivamos cada componente de \mathbf{v}(t):
  • v_{x}(t)=3 é constante, então v_{x}'(t)=0.
  • v_{y}(t)=4t tem derivada v_{y}'(t)=4.
  • v_{z}(t)=3t^{2} tem derivada v_{z}'(t)=6t.
Logo
\mathbf{a}(t)=0\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}+6t\,\mathbf{k} = 4\,\mathbf{j}+6t\,\mathbf{k}.

Passo 5

Definição de velocidade média entre t_{1} e t_{2}: é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo,
\mathbf{v}_{m}=\frac{\mathbf{r}(t_{2})-\mathbf{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=0 e t_{2}=2. Primeiro calculemos \mathbf{r}(2) e \mathbf{r}(0).

Passo 6

Calculando \mathbf{r}(2):
  • Componente \mathbf{i}: 3t em t=2 3\cdot 2=6.
  • Componente \mathbf{j}: 2t^{2} em t=2 2\cdot 4=8.
  • Componente \mathbf{k}: t^{3} em t=2 8.
Portanto
\mathbf{r}(2)=6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k}.
E claramente
\mathbf{r}(0)=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Passo 7

A variação de posição (deslocamento vetorial) é
\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0) = (6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k}) - \mathbf{0} = 6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k}.
Agora a velocidade média:
\mathbf{v}_{m}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{2-0}=\frac{1}{2}(6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k})=3\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}.

Passo 8

Para o módulo do deslocamento usamos a norma Euclidiana do vetor \Delta \mathbf{r} = 6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}+8\,\mathbf{k}. A fórmula da norma de um vetor (a,b,c) é
\|\,(a,b,c)\,\| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando:
\|\Delta \mathbf{r}\| = \sqrt{6^{2}+8^{2}+8^{2}} = \sqrt{36+64+64} = \sqrt{164}.
Simplificando 164=4\cdot 41, temos
\|\Delta \mathbf{r}\| = 2\sqrt{41}.

Resposta

\mathbf{v}(t)=3\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}+3t^{2}\,\mathbf{k}
\mathbf{a}(t)=4\,\mathbf{j}+6t\,\mathbf{k}
\mathbf{v}_{m}=3\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}
\|\Delta \mathbf{r}\|=2\sqrt{41}

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