r(t)=\left(2 e^{t}\right) \mathrm{i}+(\sin t) \mathrm{j}. a) Calcular \mathrm{v}(\mathrm{t}) \mathrm{e} \mathrm{a}(\mathrm{t}). b) Determinar o ângulo entre v e a para \mathrm{t}= 0. c) Calcular o raio de curvatura nesse instante.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
\mathbf{r}(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(\sin t)\mathbf{j}
e pede três coisas:
  1. Calcular \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t).
  2. Determinar o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{a} no instante t=0.
  3. Calcular o raio de curvatura nesse instante t=0.
Informações relevantes fornecidas: a componente x(t)=2e^{t} e a componente y(t)=\sin t. Não há mais dados ocultos — com isso já dá para calcular derivadas e aplicar as fórmulas de produto escalar, norma e curvatura.

Passo 2

Primeiro vamos calcular \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t). Vou lembrar dos derivados básicos que usamos aqui:
  • \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Agora aplicamos componente a componente. A componente x(t)=2e^{t} tem derivada x'(t)=2e^{t} e segunda derivada x''(t)=2e^{t}. A componente y(t)=\sin t tem derivada y'(t)=\cos t e segunda derivada y''(t)=-\sin t.
Portanto:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(\cos t)\mathbf{j}
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(-\sin t)\mathbf{j}.

Passo 3

Agora vamos achar o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{a} em t=0. A fórmula que conecta o produto escalar e o ângulo é
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{a}\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores, e \|\cdot\| denota a norma (módulo) do vetor. O produto escalar de dois vetores em coordenadas é
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=v_x a_x + v_y a_y.
Avalio primeiro \mathbf{v}(0) e \mathbf{a}(0) usando as fórmulas do Passo 2:
\mathbf{v}(0)=\bigl(2e^{0}\bigr)\mathbf{i}+\cos 0\,\mathbf{j}=2\mathbf{i}+1\mathbf{j}=(2,1),
\mathbf{a}(0)=\bigl(2e^{0}\bigr)\mathbf{i}+(-\sin 0)\mathbf{j}=2\mathbf{i}+0\mathbf{j}=(2,0).
Calculo o produto escalar:
\mathbf{v}(0)\cdot\mathbf{a}(0)=2\cdot2 + 1\cdot0 = 4.
Calculo as normas:
\|\mathbf{v}(0)\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
\|\mathbf{a}(0)\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2.
Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}(0)\cdot\mathbf{a}(0)}{\|\mathbf{v}(0)\|\,\|\mathbf{a}(0)\|}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot 2}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Logo o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{2}{\sqrt{5}}\biggr).
Se quiser uma orientação numérica rápida, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}8944 e \theta\approx 0{,}4636 radianos \approx 26{,}565^\circ. Mas o valor exato útil na prova é \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr).

Passo 4

Agora vamos ao raio de curvatura no instante t=0. Primeiro explico o conceito e a fórmula que vamos usar de forma prática: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a curvatura \kappa(t) pode ser calculada por
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|}{\|\mathbf{v}(t)\|^{3}},
onde \mathbf{v}=\mathbf{r}' e \mathbf{a}=\mathbf{r}''. O raio de curvatura \rho(t) é simplesmente o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
No plano (2D) a magnitude do produto vetorial reduz a um determinante escalar: se \mathbf{v}=(v_x,v_y) e \mathbf{a}=(a_x,a_y), então
\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|=|v_x a_y - v_y a_x|.
Vou aplicar isso com as componentes que já temos.
Passo a passo: para uso geral temos \mathbf{v}(t)=(2e^{t},\cos t) e \mathbf{a}(t)=(2e^{t},-\sin t). Calculo o determinante:
v_x a_y - v_y a_x = (2e^{t})(- \sin t) - (\cos t)(2e^{t}) = -2e^{t}(\sin t + \cos t).
A magnitude absoluta é
\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|=2e^{t}\bigl|\sin t + \cos t\bigr|.
A norma de \mathbf{v}(t) é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(2e^{t})^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{4e^{2t}+\cos^{2}t}.
Portanto a curvatura geral é
\kappa(t)=\frac{2e^{t}\bigl|\sin t + \cos t\bigr|}{\bigl(\sqrt{4e^{2t}+\cos^{2}t}\bigr)^{3}}=\frac{2e^{t}\bigl|\sin t + \cos t\bigr|}{\bigl(4e^{2t}+\cos^{2}t\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Agora avalio a curvatura em t=0. Substituo t=0 nas expressões encontradas:
\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1,
e^{0}=1,
\|\mathbf{v}(0)\|=\sqrt{4e^{0\cdot 2}+\cos^{2}0}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Assim
\kappa(0)=\frac{2\cdot 1 \cdot 1}{\bigl(\sqrt{5}\bigr)^{3}}=\frac{2}{(\sqrt{5})^{3}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}.
O raio de curvatura é o inverso:
\rho(0)=\frac{1}{\kappa(0)}=\frac{1}{2/(5\sqrt{5})}=\frac{5\sqrt{5}}{2}.
Se quiser um valor aproximado para intuir o tamanho: \rho(0)\approx \dfrac{5\cdot 2{,}23607}{2}\approx \dfrac{11{,}1803}{2}\approx 5{,}59015. Mas o valor exato \dfrac{5\sqrt{5}}{2} é mais apropriado para provas.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{v}(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(\cos t)\mathbf{j},\quad \mathbf{a}(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(-\sin t)\mathbf{j}.
b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{2}{\sqrt{5}}\biggr)\approx 26{,}565^\circ.
c) \displaystyle \rho(0)=\frac{5\sqrt{5}}{2}.

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