r(t)=\left(2 e^{t}\right) \mathrm{i}+(\sin t) \mathrm{j}. a) Calcular \mathrm{v}(\mathrm{t}) \mathrm{e} \mathrm{a}(\mathrm{t}). b) Determinar o ângulo entre v e a para \mathrm{t}= 0. c) Calcular o raio de curvatura nesse instante.
Determinar o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{a} no instante t=0.
Calcular o raio de curvatura nesse instante t=0.
Informações relevantes fornecidas: a componente x(t)=2e^{t} e a componente y(t)=\sin t. Não há mais dados ocultos — com isso já dá para calcular derivadas e aplicar as fórmulas de produto escalar, norma e curvatura.
Passo 2
Primeiro vamos calcular \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t). Vou lembrar dos derivados básicos que usamos aqui:
\dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
\dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
\dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Agora aplicamos componente a componente. A componente x(t)=2e^{t} tem derivada x'(t)=2e^{t} e segunda derivada x''(t)=2e^{t}. A componente y(t)=\sin t tem derivada y'(t)=\cos t e segunda derivada y''(t)=-\sin t.
Se quiser uma orientação numérica rápida, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}8944 e \theta\approx 0{,}4636 radianos \approx 26{,}565^\circ. Mas o valor exato útil na prova é \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr).
Passo 4
Agora vamos ao raio de curvatura no instante t=0. Primeiro explico o conceito e a fórmula que vamos usar de forma prática: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a curvatura \kappa(t) pode ser calculada por
\kappa(t)=\frac{2e^{t}\bigl|\sin t + \cos t\bigr|}{\bigl(\sqrt{4e^{2t}+\cos^{2}t}\bigr)^{3}}=\frac{2e^{t}\bigl|\sin t + \cos t\bigr|}{\bigl(4e^{2t}+\cos^{2}t\bigr)^{3/2}}.
Passo 5
Agora avalio a curvatura em t=0. Substituo t=0 nas expressões encontradas:
Se quiser um valor aproximado para intuir o tamanho: \rho(0)\approx \dfrac{5\cdot 2{,}23607}{2}\approx \dfrac{11{,}1803}{2}\approx 5{,}59015. Mas o valor exato \dfrac{5\sqrt{5}}{2} é mais apropriado para provas.
Resposta
a) \displaystyle \mathbf{v}(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(\cos t)\mathbf{j},\quad \mathbf{a}(t)=\bigl(2e^{t}\bigr)\mathbf{i}+(-\sin t)\mathbf{j}.
b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{2}{\sqrt{5}}\biggr)\approx 26{,}565^\circ.
c) \displaystyle \rho(0)=\frac{5\sqrt{5}}{2}.