r(t)=(t) i+\left(t^{2}\right) j+(\sin t) k. a) Calcular v(t), a(t). b) Determinar a aceleração normal. c) Calcular o raio de curvatura em t=\pi / 2.
Passo 1
O enunciado dá a curva vetor
r(t)=\langle t,\; t^{2},\; \sin t\rangle
e pede três coisas:
(a) Calcular a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
(b) Determinar a aceleração normal (ou seja, a componente normal da aceleração).
(c) Calcular o raio de curvatura em t=\pi/2.
Informações relevantes que temos do enunciado:
r(t)=\langle t,\; t^{2},\; \sin t\rangle.
Nada mais foi fornecido, então usaremos derivadas diretas das componentes e as fórmulas padrão de cinemática de curvas no espaço para obter as componentes tangencial e normal da aceleração e o raio de curvatura.
Passo 2
Vamos calcular v(t), a derivada de r(t) em relação a t. Lembrete rápido de derivadas de componentes:
A derivada de t é 1.
A derivada de t^{2} é 2t.
A derivada de \sin t é \cos t.
Portanto
v(t)=r'(t)=\langle 1,\; 2t,\; \cos t\rangle.
Passo 3
Agora calculamos a(t), a derivada de v(t). Lembretes:
A derivada de 1 é 0.
A derivada de 2t é 2.
A derivada de \cos t é -\sin t.
Assim
a(t)=v'(t)=\langle 0,\; 2,\; -\sin t\rangle.
Passo 4
Antes de calcular a “aceleração normal”, explico o que isso significa e as fórmulas que vamos usar (passo didático rápido).
A aceleração a pode ser decomposta em duas componentes: tangencial (paralela à velocidade) e normal (perpendicular à velocidade):
a = a_{T}\,\hat{t} + a_{N}\,\hat{n},
onde \hat{t} é o versor tangente (direção de v) e \hat{n} é o versor normal. Duas fórmulas úteis e fáceis de aplicar em provas são:
componente tangencial (escalares):
a_{T}=\frac{a\cdot v}{\|v\|}.
Aqui a\cdot v é o produto escalar e \|v\| o módulo da velocidade.
magnitude da componente normal:
a_{N}=\frac{\|v\times a\|}{\|v\|}.
Essa fórmula vem da relação entre curvatura, velocidade e aceleração normal. É a forma prática de obter a_N sem primeiro achar \hat n.
Também existe uma expressão vetorial para a componente normal (útil se quiser o vetor):
\text{componente normal (vetor)}\;=\;\frac{(v\times a)\times v}{\|v\|^{2}}
que é equivalente a a - a_{T}\hat t. Vou calcular tanto a_N escalar quanto a expressão vetorial.
Passo 5
Calculemos a\cdot v (precisamos para a_{T} e para a expressão vetorial):
Essa é a expressão geral de a_{N}(t). Na hora da prova, se pedirem só o módulo da componente normal, esta é a resposta simbólica; se pedirem também o vetor, segue o passo seguinte.
Usando a identidade vetorial (A\times B)\times C = B(A\cdot C)-A(B\cdot C) com A=v e B=a (ou aplicando a forma (v\times a)\times v = a\,\|v\|^{2}-v\,(a\cdot v) ), obtemos uma forma prática:
\mathbf{a}_{N}=a-\frac{(a\cdot v)}{\|v\|^{2}}\,v.
Substituindo a=\langle 0,2,-\sin t\rangle, a\cdot v=4t-\sin t\cos t e \|v\|^{2}=1+4t^{2}+\cos^{2}t, temos