r(t)=(t) i+\left(t^{2}\right) j+(\sin t) k. a) Calcular v(t), a(t). b) Determinar a aceleração normal. c) Calcular o raio de curvatura em t=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva vetor
r(t)=\langle t,\; t^{2},\; \sin t\rangle
e pede três coisas:
  1. (a) Calcular a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
  2. (b) Determinar a aceleração normal (ou seja, a componente normal da aceleração).
  3. (c) Calcular o raio de curvatura em t=\pi/2.
Informações relevantes que temos do enunciado:
r(t)=\langle t,\; t^{2},\; \sin t\rangle.
Nada mais foi fornecido, então usaremos derivadas diretas das componentes e as fórmulas padrão de cinemática de curvas no espaço para obter as componentes tangencial e normal da aceleração e o raio de curvatura.

Passo 2

Vamos calcular v(t), a derivada de r(t) em relação a t. Lembrete rápido de derivadas de componentes:
  • A derivada de t é 1.
  • A derivada de t^{2} é 2t.
  • A derivada de \sin t é \cos t.
Portanto
v(t)=r'(t)=\langle 1,\; 2t,\; \cos t\rangle.

Passo 3

Agora calculamos a(t), a derivada de v(t). Lembretes:
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de 2t é 2.
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
Assim
a(t)=v'(t)=\langle 0,\; 2,\; -\sin t\rangle.

Passo 4

Antes de calcular a “aceleração normal”, explico o que isso significa e as fórmulas que vamos usar (passo didático rápido).
A aceleração a pode ser decomposta em duas componentes: tangencial (paralela à velocidade) e normal (perpendicular à velocidade):
a = a_{T}\,\hat{t} + a_{N}\,\hat{n},
onde \hat{t} é o versor tangente (direção de v) e \hat{n} é o versor normal. Duas fórmulas úteis e fáceis de aplicar em provas são:
  • componente tangencial (escalares):
a_{T}=\frac{a\cdot v}{\|v\|}.
Aqui a\cdot v é o produto escalar e \|v\| o módulo da velocidade.
  • magnitude da componente normal:
a_{N}=\frac{\|v\times a\|}{\|v\|}.
Essa fórmula vem da relação entre curvatura, velocidade e aceleração normal. É a forma prática de obter a_N sem primeiro achar \hat n.
Também existe uma expressão vetorial para a componente normal (útil se quiser o vetor):
\text{componente normal (vetor)}\;=\;\frac{(v\times a)\times v}{\|v\|^{2}}
que é equivalente a a - a_{T}\hat t. Vou calcular tanto a_N escalar quanto a expressão vetorial.

Passo 5

Calculemos a\cdot v (precisamos para a_{T} e para a expressão vetorial):
a\cdot v=\langle 0,2,-\sin t\rangle\cdot\langle 1,2t,\cos t\rangle =0\cdot1+2\cdot(2t)+(-\sin t)\cdot(\cos t).
Então
a\cdot v=4t-\sin t\cos t.
O módulo de v é
\|v\|=\sqrt{1+(2t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+\cos^{2}t}.
Logo a componente tangencial a_T é
a_{T}=\frac{4t-\sin t\cos t}{\sqrt{1+4t^{2}+\cos^{2}t}}.

Passo 6

Agora calculamos o produto vetorial v\times a (necessário para a_N e para o raio de curvatura). Usamos o determinante 3×3:
v\times a= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 2t & \cos t\\[4pt] 0 & 2 & -\sin t \end{vmatrix}.
Expandindo:
  • Componente \mathbf{i}: 2t\cdot(-\sin t)-\cos t\cdot 2 = -2t\sin t-2\cos t.
  • Componente \mathbf{j}: -(1\cdot(-\sin t)-\cos t\cdot 0) = \sin t.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot 2 - 2t\cdot 0 = 2.
Logo
v\times a=\langle -2t\sin t-2\cos t,\; \sin t,\; 2\rangle.]

Passo 7

Calculemos o módulo \|v\times a\|. Primeiro note que podemos fatorar 2 na primeira componente:
-2t\sin t-2\cos t = -2\bigl(t\sin t+\cos t\bigr).
Então
\|v\times a\|^{2}=4\bigl(t\sin t+\cos t\bigr)^{2}+(\sin t)^{2}+2^{2}.
Portanto
\|v\times a\|=\sqrt{4\bigl(t\sin t+\cos t\bigr)^{2}+\sin^{2}t+4}.

Passo 8

Agora a magnitude da aceleração normal é, pela fórmula,
a_{N}=\frac{\|v\times a\|}{\|v\|} =\frac{\sqrt{4\bigl(t\sin t+\cos t\bigr)^{2}+\sin^{2}t+4}}{\sqrt{1+4t^{2}+\cos^{2}t}}.
Essa é a expressão geral de a_{N}(t). Na hora da prova, se pedirem só o módulo da componente normal, esta é a resposta simbólica; se pedirem também o vetor, segue o passo seguinte.

Passo 9

A componente normal como vetor é
\mathbf{a}_{N}=\frac{(v\times a)\times v}{\|v\|^{2}}.
Usando a identidade vetorial (A\times B)\times C = B(A\cdot C)-A(B\cdot C) com A=v e B=a (ou aplicando a forma (v\times a)\times v = a\,\|v\|^{2}-v\,(a\cdot v) ), obtemos uma forma prática:
\mathbf{a}_{N}=a-\frac{(a\cdot v)}{\|v\|^{2}}\,v.
Substituindo a=\langle 0,2,-\sin t\rangle, a\cdot v=4t-\sin t\cos t e \|v\|^{2}=1+4t^{2}+\cos^{2}t, temos
\mathbf{a}_{N} =\Bigl\langle 0,2,-\sin t\Bigr\rangle -\frac{4t-\sin t\cos t}{\,1+4t^{2}+\cos^{2}t\,}\Bigl\langle 1,2t,\cos t\Bigr\rangle.
Essa expressão dá o vetor componente normal (com sinal e direção), útil se precisarem da direção exata da aceleração perpendicular à trajetória.

Passo 10

Agora vamos ao item (c): calcular o raio de curvatura em t=\pi/2. Primeiro avaliamos as quantidades em t=\pi/2.
Valores trigonométricos:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.
A velocidade em t=\pi/2 é
v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 1,\;\pi,\;0\rangle,
pois 2t=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.
O módulo de v nesse instante é
\|v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\|=\sqrt{1+\pi^{2}+0}=\sqrt{1+\pi^{2}}.
A aceleração em t=\pi/2 é
a\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 0,\;2,\;-1\rangle.
Usando a expressão geral do produto vetorial (ou avaliando diretamente), em t=\pi/2 temos
v\times a\Bigl|_{t=\pi/2}=\langle -\pi,\;1,\;2\rangle.
Verifique: primeira componente -2t\sin t-2\cos t = -2(\pi/2)\cdot1 - 0 = -\pi, segunda componente \sin t=1, terceira 2.
O módulo então é
\|v\times a\|_{t=\pi/2}=\sqrt{\pi^{2}+1+4}=\sqrt{\pi^{2}+5}.

Passo 11

A definição do raio de curvatura \rho em termos de v e v\times a é
\rho=\frac{\|v\|^{3}}{\|v\times a\|}.
Avaliando em t=\pi/2,
\rho\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\frac{\bigl(\sqrt{1+\pi^{2}}\bigr)^{3}}{\sqrt{\pi^{2}+5}} =\frac{(1+\pi^{2})^{3/2}}{\sqrt{\pi^{2}+5}}.
Também, se quiser a aceleração normal numérica naquele ponto (componente escalar),
a_{N}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\frac{\|v\times a\|_{t=\pi/2}}{\|v\|_{t=\pi/2}} =\frac{\sqrt{\pi^{2}+5}}{\sqrt{1+\pi^{2}}} =\sqrt{\frac{\pi^{2}+5}{1+\pi^{2}}}.

Resposta

v(t)=\langle 1,\;2t,\;\cos t\rangle,\quad a(t)=\langle 0,\;2,\;-\sin t\rangle
a_{N}(t)=\dfrac{\sqrt{4\bigl(t\sin t+\cos t\bigr)^{2}+\sin^{2}t+4}}{\sqrt{1+4t^{2}+\cos^{2}t}}
\rho\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{(1+\pi^{2})^{3/2}}{\sqrt{\pi^{2}+5}}

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