r(t)=\left(3 t^{2}-2 t\right) i+\left(4 t-t^{3}\right) j. a) Determinar v(t) e a(t). b) Calcular vm entre t=0 e t=2. c) Obter o raio de curvatura em \mathrm{t}=1.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (sem resolver ainda). O problema dá a função vetor
Para vetores no plano \mathbf{r}'(t)=(x',y',0) e \mathbf{r}''(t)=(x'',y'',0), o módulo do produto vetorial reduz-se a |x'y''-y'x''|. O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Explico cada símbolo: \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' são primeira e segunda derivadas; \times é o produto vetorial; \lVert\cdot\rVert é norma (comprimento) do vetor; \kappa é curvatura; \rho é raio de curvatura.
Passo 3
Calcular \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) componente a componente.
Para a componente em \mathbf{i}: x(t)=3 t^{2}-2 t. Aplicando a regra de potência e soma,
Calculamos \mathbf{r}(2) e \mathbf{r}(0) componente a componente.
Para t=2: x(2)=3\cdot 2^{2}-2\cdot 2=3\cdot 4-4=12-4=8. Em TeX: \;x(2)=8. y(2)=4\cdot 2-2^{3}=8-8=0. Em TeX: \;y(2)=0.
Logo \mathbf{r}(2)=8\mathbf{i}+0\mathbf{j}=8\mathbf{i}.
Para t=0: x(0)=3\cdot 0^{2}-2\cdot 0=0,y(0)=4\cdot 0-0^{3}=0. Logo \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}.
Passo 6
Continuando (b): calcular a diferença e dividir por 2.