r(t)=\left(3 t^{2}-2 t\right) i+\left(4 t-t^{3}\right) j. a) Determinar v(t) e a(t). b) Calcular vm entre t=0 e t=2. c) Obter o raio de curvatura em \mathrm{t}=1.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (sem resolver ainda). O problema dá a função vetor
\mathbf{r}(t)=\bigl(3 t^{2}-2 t\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4 t-t^{3}\bigr)\mathbf{j}.
As perguntas são:
  1. (a) Determinar \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t).
  2. (b) Calcular \mathbf{v}_{m} entre t=0 e t=2.
  3. (c) Obter o raio de curvatura em t=1.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \mathbf{r}(t) com as componentes em \mathbf{i} e \mathbf{j}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • A derivada de uma função vetor é feita componente a componente. Se \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}, então
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j},
e
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=x''(t)\mathbf{i}+y''(t)\mathbf{j}.
  • Regra de potência (usada nas derivadas): para x(t)=t^{n} temos x'(t)=n t^{n-1}. Ex.: \frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.
  • Velocidade média vetorial entre t_{1} e t_{2} é
\mathbf{v}_{m}=\frac{\mathbf{r}(t_{2})-\mathbf{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Isto mede a variação média do vetor posição por unidade de tempo (é um vetor).
  • Curvatura para uma curva planar regular dada por \mathbf{r}(t): primeiro calcula-se \kappa(t) por
\kappa(t)=\frac{\bigl\lvert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\bigr\rvert}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert^{3}}.
Para vetores no plano \mathbf{r}'(t)=(x',y',0) e \mathbf{r}''(t)=(x'',y'',0), o módulo do produto vetorial reduz-se a |x'y''-y'x''|. O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Explico cada símbolo: \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' são primeira e segunda derivadas; \times é o produto vetorial; \lVert\cdot\rVert é norma (comprimento) do vetor; \kappa é curvatura; \rho é raio de curvatura.

Passo 3

Calcular \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) componente a componente.
  • Para a componente em \mathbf{i}: x(t)=3 t^{2}-2 t. Aplicando a regra de potência e soma,
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3 t^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(2 t\bigr)=3\cdot 2 t^{1}-2=6 t-2.
  • Para a componente em \mathbf{j}: y(t)=4 t-t^{3}. Derivando,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4 t\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=4-3 t^{2}.
Portanto
\mathbf{v}(t)=\bigl(6 t-2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4-3 t^{2}\bigr)\mathbf{j}.

Passo 4

Calcular \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t) (segunda derivada componente a componente).
  • Derivando x'(t)=6 t-2:
x''(t)=6.
  • Derivando y'(t)=4-3 t^{2}:
y''(t)=-6 t.
Portanto
\mathbf{a}(t)=6\mathbf{i}-6 t\,\mathbf{j}.

Passo 5

Agora a parte (b): definimos \mathbf{v}_{m} entre t_{1}=0 e t_{2}=2 pela fórmula da média vetorial:
\mathbf{v}_{m}=\frac{\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)}{2-0}=\frac{\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)}{2}.
Calculamos \mathbf{r}(2) e \mathbf{r}(0) componente a componente.
  • Para t=2: x(2)=3\cdot 2^{2}-2\cdot 2=3\cdot 4-4=12-4=8. Em TeX: \;x(2)=8.
    y(2)=4\cdot 2-2^{3}=8-8=0. Em TeX: \;y(2)=0.
    Logo \mathbf{r}(2)=8\mathbf{i}+0\mathbf{j}=8\mathbf{i}.
  • Para t=0: x(0)=3\cdot 0^{2}-2\cdot 0=0, y(0)=4\cdot 0-0^{3}=0. Logo \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}.

Passo 6

Continuando (b): calcular a diferença e dividir por 2.
\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)=8\mathbf{i}-\mathbf{0}=8\mathbf{i}.
Dividindo por 2:
\mathbf{v}_{m}=\frac{8\mathbf{i}}{2}=4\mathbf{i}.
Isto significa que a velocidade média vetorial entre \;t=0 e \;t=2 é \;4\mathbf{i} (componente em \mathbf{j} nula).

Passo 7

Parte (c): calcular o raio de curvatura em t=1. Já temos as fórmulas; vamos avaliar \mathbf{r}'(1) e \mathbf{r}''(1).
  • Usando \mathbf{v}(t)=\bigl(6 t-2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4-3 t^{2}\bigr)\mathbf{j}, em t=1:
\mathbf{r}'(1)=\mathbf{v}(1)=\bigl(6\cdot 1-2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4-3\cdot 1^{2}\bigr)\mathbf{j}=(4)\mathbf{i}+(1)\mathbf{j}.
Ou seja \mathbf{r}'(1)=4\mathbf{i}+1\mathbf{j}.
  • Usando \mathbf{a}(t)=6\mathbf{i}-6 t\,\mathbf{j}, em t=1:
\mathbf{r}''(1)=6\mathbf{i}-6\cdot 1\,\mathbf{j}=6\mathbf{i}-6\mathbf{j}.

Passo 8

Calcular a curvatura \kappa(1) e então o raio \rho(1).
  • Produto vetorial no plano: se \mathbf{r}'(1)=(x',y',0) e \mathbf{r}''(1)=(x'',y'',0), então
\bigl\lvert \mathbf{r}'(1)\times \mathbf{r}''(1)\bigr\rvert = \bigl\lvert x'y''-y'x''\bigr\rvert.
Aqui x'=4,\;y'=1,\;x''=6,\;y''=-6. Então
x'y''-y'x''=4\cdot(-6)-1\cdot 6=-24-6=-30,
e o módulo é \bigl\lvert -30\bigr\rvert=30.
  • Norma de \mathbf{r}'(1):
\lVert \mathbf{r}'(1)\rVert=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
  • Curvatura em t=1:
\kappa(1)=\frac{30}{\bigl(\sqrt{17}\bigr)^{3}}=\frac{30}{17^{3/2}}.
  • Raio de curvatura \rho(1)=\dfrac{1}{\kappa(1)}:
\rho(1)=\frac{17^{3/2}}{30}=\frac{17\sqrt{17}}{30}.
Isso é o valor exato; se quiser uma aproximação numérica, \rho(1)\approx não calcularei aqui pois o valor exato é mais útil em prova.

Resposta

(a) \mathbf{v}(t)=\bigl(6 t-2\bigr)\mathbf{i}+\bigl(4-3 t^{2}\bigr)\mathbf{j}, \mathbf{a}(t)=6\mathbf{i}-6 t\,\mathbf{j}.
(b) \mathbf{v}_{m}=4\mathbf{i}.
(c) \rho(1)=\dfrac{17^{3/2}}{30}=\dfrac{17\sqrt{17}}{30}.

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