r(t)=(4 \cos t) i+(4 \sin t) j+2 t k. a) Determinar v(t) e a(t). b) Calcular a aceleração normal e tangencial. c) Determinar o raio de curvatura.

Passo 1

O enunciado fornece a posição do corpo em função do tempo:
r(t)=(4\cos t)\,\mathbf{i}+(4\sin t)\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}.
Pede-se:
  1. Determinar v(t) e a(t).
  2. Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração (ou seja, a_T e a_N).
  3. Determinar o raio de curvatura \rho.
Informações relevantes dadas: as três componentes de r(t) (nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) são funções simples de t. Não há força externa ou outros dados; só precisamos usar derivação de vetores e fórmulas de cinemática.

Passo 2

Regra usada para derivar vetores: derivamos componente a componente. Se
r(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},
então
v(t)=r'(t)=x'(t)\,\mathbf{i}+y'(t)\,\mathbf{j}+z'(t)\,\mathbf{k},
e
a(t)=r''(t)=x''(t)\,\mathbf{i}+y''(t)\,\mathbf{j}+z''(t)\,\mathbf{k}.
Aqui explico cada símbolo: x(t),y(t),z(t) são as componentes da posição; v(t) é a velocidade (derivada da posição); a(t) é a aceleração (derivada da velocidade). Derivadas usuais: (\cos t)'=-\sin t, (\sin t)'=\cos t, (2t)'=2.

Passo 3

Aplicando a derivação componente a componente para obter v(t):
x(t)=4\cos t \Rightarrow x'(t)=-4\sin t,
y(t)=4\sin t \Rightarrow y'(t)=4\cos t,
z(t)=2t \Rightarrow z'(t)=2.
Portanto
v(t)=(-4\sin t)\,\mathbf{i}+(4\cos t)\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}.

Passo 4

Agora obtemos a(t)=v'(t) derivando as componentes de v(t):
(-4\sin t)'=-4\cos t,\qquad (4\cos t)'=-4\sin t,\qquad (2)'=0.
Logo
a(t)=(-4\cos t)\,\mathbf{i}+(-4\sin t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Para simplificar escrevemos
a(t)=-4\cos t\,\mathbf{i}-4\sin t\,\mathbf{j}.

Passo 5

Precisamos das componentes tangencial e normal da aceleração. Primeiro lembramos as fórmulas e o significado:
  • A componente tangencial a_T é a parcela da aceleração que altera a rapidez (o módulo da velocidade). Uma fórmula prática é
a_T=\frac{v\cdot a}{\lVert v\rVert},
onde v\cdot a é o produto escalar e \lVert v\rVert é a rapidez (magnitude de v).
  • A componente normal a_N mede a aceleração dirigida para o centro da curvatura (responsável por curvar a trajetória). Podemos calcular por
a_N=\sqrt{\lVert a\rVert^2-a_T^2}
ou pela fórmula alternativa
a_N=\frac{\lVert v\times a\rVert}{\lVert v\rVert}.
Expliquei: v\times a é o produto vetorial entre velocidade e aceleração; sua magnitude está ligada à parte da aceleração perpendicular a v.

Passo 6

Calculemos a rapidez \lVert v\rVert e o produto escalar v\cdot a. Primeiro \lVert v\rVert:
\lVert v(t)\rVert=\sqrt{(-4\sin t)^2+(4\cos t)^2+2^2} =\sqrt{16\sin^2 t+16\cos^2 t+4} =\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Agora o produto escalar v\cdot a:
v\cdot a = (-4\sin t)(-4\cos t)+(4\cos t)(-4\sin t)+2\cdot 0.
Calcule os termos: o primeiro é 16\sin t\cos t, o segundo é -16\sin t\cos t; somando dá zero. Então
v\cdot a=0.
Assim, pela fórmula
a_T=\frac{v\cdot a}{\lVert v\rVert}=0.
Interpretação: a rapidez é constante (não muda em t), então não há componente tangencial.

Passo 7

Calculemos a_N. Primeiro a magnitude de a(t):
\lVert a(t)\rVert=\sqrt{(-4\cos t)^2+(-4\sin t)^2} =\sqrt{16\cos^2 t+16\sin^2 t} =\sqrt{16}=4.
Como a_T=0, temos diretamente
a_N=\sqrt{\lVert a\rVert^2-a_T^2}=\sqrt{4^2-0^2}=4.
Vou também mostrar a via alternativa (produto vetorial) só para fixar a ideia: calcule v\times a. Com
v=(-4\sin t,\,4\cos t,\,2),\qquad a=(-4\cos t,\,-4\sin t,\,0),
o produto vetorial é
v\times a=(8\sin t,\,-8\cos t,\,16).
A magnitude é
\lVert v\times a\rVert=\sqrt{(8\sin t)^2+(-8\cos t)^2+16^2} =\sqrt{64(\sin^2 t+\cos^2 t)+256} =\sqrt{64+256}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}.
Então
a_N=\frac{\lVert v\times a\rVert}{\lVert v\rVert}=\frac{8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=4,
coerente com o resultado anterior.

Passo 8

Agora o raio de curvatura \rho. Fórmula prática (ligada à curvatura \kappa) é
\kappa=\frac{\lVert v\times a\rVert}{\lVert v\rVert^3},\qquad \rho=\frac{1}{\kappa}=\frac{\lVert v\rVert^3}{\lVert v\times a\rVert}.
Já calculamos \lVert v\rVert=2\sqrt{5} e \lVert v\times a\rVert=8\sqrt{5}. Portanto
\rho=\frac{(2\sqrt{5})^3}{8\sqrt{5}}=\frac{8\cdot 5\sqrt{5}}{8\sqrt{5}}=5.
Interpretação: a curva tem raio de curvatura constante igual a 5, ou seja, a curvatura é constante aqui.

Resposta

v(t)=(-4\sin t)\,\mathbf{i}+(4\cos t)\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}\n
a(t)=-4\cos t\,\mathbf{i}-4\sin t\,\mathbf{j}\n
a_T=0\n
a_N=4\n
\rho=5

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