. a) Determinar
. b) Calcular a aceleração normal e tangencial. c) Determinar o raio de curvatura.
Passo 1
O enunciado fornece a posição do corpo em função do tempo:
Pede-se:
- Determinar
e . - Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração (ou seja,
e ). - Determinar o raio de curvatura
.
Informações relevantes dadas: as três componentes de
(nas direções
) são funções simples de
. Não há força externa ou outros dados; só precisamos usar derivação de vetores e fórmulas de cinemática.
Passo 2
Regra usada para derivar vetores: derivamos componente a componente. Se
então
e
Aqui explico cada símbolo:
são as componentes da posição;
é a velocidade (derivada da posição);
é a aceleração (derivada da velocidade). Derivadas usuais:
,
,
.
Passo 3
Aplicando a derivação componente a componente para obter
:
Portanto
Passo 4
Agora obtemos
derivando as componentes de
:
Logo
Para simplificar escrevemos
Passo 5
Precisamos das componentes tangencial e normal da aceleração. Primeiro lembramos as fórmulas e o significado:
- A componente tangencial
é a parcela da aceleração que altera a rapidez (o módulo da velocidade). Uma fórmula prática é
onde
é o produto escalar e
é a rapidez (magnitude de
).
- A componente normal
mede a aceleração dirigida para o centro da curvatura (responsável por curvar a trajetória). Podemos calcular por
ou pela fórmula alternativa
Expliquei:
é o produto vetorial entre velocidade e aceleração; sua magnitude está ligada à parte da aceleração perpendicular a
.
Passo 6
Calculemos a rapidez
e o produto escalar
. Primeiro
:
Agora o produto escalar
:
Calcule os termos: o primeiro é
, o segundo é
; somando dá zero. Então
Assim, pela fórmula
Interpretação: a rapidez é constante (não muda em
), então não há componente tangencial.
Passo 7
Calculemos
. Primeiro a magnitude de
:
Como
, temos diretamente
Vou também mostrar a via alternativa (produto vetorial) só para fixar a ideia: calcule
. Com
o produto vetorial é
A magnitude é
Então
coerente com o resultado anterior.
Passo 8
Agora o raio de curvatura
. Fórmula prática (ligada à curvatura
) é
Já calculamos
e
. Portanto
Interpretação: a curva tem raio de curvatura constante igual a
, ou seja, a curvatura é constante aqui.