. a) Determinar a trajectória. b) Calcular
entre
. c) Determinar o raio de curvatura no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a posição do ponto em função do tempo pela função vetor
e pede três coisas:
a) Determinar a trajectória — isto é, a equação da curva no plano
obtida eliminando o parâmetro
.
b) Calcular
entre
e
— aqui vamos interpretar
como a velocidade média vetorial no intervalo de tempo
, isto é
c) Determinar o raio de curvatura no ponto
— para curvas planas parametricamente dadas, usaremos a fórmula da curvatura
e depois
(raio de curvatura).
Informações relevantes dadas:
Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
A ideia para obter a trajectória é eliminar o parâmetro
entre
e
, deixando uma relação
.
Temos primeiro
Isolando
,
Agora substituímos essa expressão em
. Fazendo a substituição:
Isso já é a equação da trajectória em termos de
e
. Podemos simplificar para uma forma polinomial dividida por
. Primeiro escrevemos com denomínio comum:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Expandindo
e subtraindo
, obtemos
Portanto a trajectória, escrita explicitamente, é
Passo 3
Agora calculamos a velocidade média vetorial no intervalo
. A fórmula da velocidade média vetorial é
Aqui
e
. Primeiro avaliamos
e
.
Calculando
:
logo
Calculando
:
logo
Agora a diferença:
Dividindo pelo intervalo de tempo
,
Se for útil, a magnitude da velocidade média (velocidade média escalar) é
mas a resposta principal pedida é o vetor
.
Passo 4
Para achar o raio de curvatura no ponto correspondente a
usamos a definição de curvatura para curvas paramétricas no plano. Seja
. A curvatura
é dada por
O raio de curvatura é
.
Precisamos então das derivadas primeiras e segundas de
e
. Lembrando que
temos:
Agora avaliamos em
:
Substituindo na fórmula do numerador:
O denominador é
Portanto a curvatura em
é
O raio de curvatura em
é o inverso:
Se quiseres uma aproximação numérica:
Passo 5
Resumo final das respostas pedidas, escritas de forma direta para consulta rápida.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)