\mathrm{r}(\mathrm{t})=(3 \mathrm{t}-2) \mathrm{i}+\left(\mathrm{t}^{3}-\mathrm{t}\right) \mathrm{j}. a) Determinar a trajectória. b) Calcular \mathrm{v}_{\mathrm{m}} entre \mathrm{t}=0 \mathrm{et}=2. c) Determinar o raio de curvatura no ponto t=1.

Passo 1

O enunciado dá a posição do ponto em função do tempo pela função vetor
\mathbf{r}(t) = (3t-2)\,\mathbf{i} + (t^{3}-t)\,\mathbf{j},
e pede três coisas:
a) Determinar a trajectória — isto é, a equação da curva no plano xy obtida eliminando o parâmetro t.
b) Calcular \mathbf{v}_{m} entre t=0 e t=2 — aqui vamos interpretar \mathbf{v}_{m} como a velocidade média vetorial no intervalo de tempo [0,2], isto é
\mathbf{v}_{m}=\frac{\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)}{2-0}.
c) Determinar o raio de curvatura no ponto t=1 — para curvas planas parametricamente dadas, usaremos a fórmula da curvatura \kappa e depois \rho = 1/\kappa (raio de curvatura).
Informações relevantes dadas:
x(t)=3t-2,\qquad y(t)=t^{3}-t.
Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

A ideia para obter a trajectória é eliminar o parâmetro t entre x(t) e y(t), deixando uma relação y=f(x).
Temos primeiro
x(t)=3t-2.
Isolando t,
t=\frac{x+2}{3}.
Agora substituímos essa expressão em y(t)=t^{3}-t. Fazendo a substituição:
y=\left(\frac{x+2}{3}\right)^{3}-\left(\frac{x+2}{3}\right).
Isso já é a equação da trajectória em termos de x e y. Podemos simplificar para uma forma polinomial dividida por 27. Primeiro escrevemos com denomínio comum:
y=\frac{(x+2)^{3}}{27}-\frac{(x+2)}{3}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 27:
y=\frac{(x+2)^{3}-9(x+2)}{27}.
Expandindo (x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8 e subtraindo 9(x+2)=9x+18, obtemos
y=\frac{x^{3}+6x^{2}+12x+8-9x-18}{27}=\frac{x^{3}+6x^{2}+3x-10}{27}.
Portanto a trajectória, escrita explicitamente, é
y=\frac{(x+2)^{3}}{27}-\frac{x+2}{3}=\frac{x^{3}+6x^{2}+3x-10}{27}.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade média vetorial no intervalo t\in[0,2]. A fórmula da velocidade média vetorial é
\mathbf{v}_{m}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t_{2})-\mathbf{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=0 e t_{2}=2. Primeiro avaliamos \mathbf{r}(0) e \mathbf{r}(2).
Calculando \mathbf{r}(0):
x(0)=3\cdot 0-2=-2,\qquad y(0)=0^{3}-0=0,
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\mathbf{r}(0)=(-2)\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}=(-2,0).
Calculando \mathbf{r}(2):
x(2)=3\cdot 2-2=4,\qquad y(2)=2^{3}-2=8-2=6,
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\mathbf{r}(2)=4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}=(4,6).
Agora a diferença:
\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)=(4-(-2),\,6-0)=(6,6).
Dividindo pelo intervalo de tempo \Delta t=2,
\mathbf{v}_{m}=\frac{(6,6)}{2}=(3,3).
Se for útil, a magnitude da velocidade média (velocidade média escalar) é
\|\mathbf{v}_{m}\|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},
mas a resposta principal pedida é o vetor \mathbf{v}_{m}=(3,3).

Passo 4

Para achar o raio de curvatura no ponto correspondente a t=1 usamos a definição de curvatura para curvas paramétricas no plano. Seja \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)). A curvatura \kappa(t) é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
O raio de curvatura é \rho(t)=\dfrac{1}{\kappa(t)}.
Precisamos então das derivadas primeiras e segundas de x e y. Lembrando que
x(t)=3t-2,\qquad y(t)=t^{3}-t,
temos:
x'(t)=3,\qquad x''(t)=0,
y'(t)=3t^{2}-1,\qquad y''(t)=6t.
Agora avaliamos em t=1:
x'(1)=3,\qquad x''(1)=0,
y'(1)=3\cdot 1^{2}-1=2,\qquad y''(1)=6\cdot 1=6.
Substituindo na fórmula do numerador:
|x'(1)\,y''(1)-y'(1)\,x''(1)|=|3\cdot 6 - 2\cdot 0|=|18|=18.
O denominador é
\bigl(x'(1)^{2}+y'(1)^{2}\bigr)^{3/2}=(3^{2}+2^{2})^{3/2}=(9+4)^{3/2}=13^{3/2}=13\sqrt{13}.
Portanto a curvatura em t=1 é
\kappa(1)=\frac{18}{13\sqrt{13}}=\frac{18}{13^{3/2}}.
O raio de curvatura em t=1 é o inverso:
\rho(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{13^{3/2}}{18}=\frac{13\sqrt{13}}{18}.
Se quiseres uma aproximação numérica:
\rho(1)\approx 2{,}604\quad(\text{unidades}).

Passo 5

Resumo final das respostas pedidas, escritas de forma direta para consulta rápida.

Resposta

a) y=\left(\dfrac{x+2}{3}\right)^{3}-\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{x^{3}+6x^{2}+3x-10}{27}.
b) \mathbf{v}_{m}=(3,3).
c) \rho(1)=\dfrac{13^{3/2}}{18}=\dfrac{13\sqrt{13}}{18}\\ (\approx 2{,}604).

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