(2,5 \mathrm{pt}) Resolve o problema do valor inicial
y^{\prime} \sin 4 x+6 y \cos 4 x=4, \quad y\left(\frac{\pi}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'\,\sin4x + 6\,y\,\cos4x = 4
com condição inicial
y\!\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr)=\tfrac1{\sqrt2}.
Reconhecemos que é uma equação linear na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
e que vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos por \sin4x (assumindo 0<x<\tfrac\pi4, onde \sin4x>0) para pôr em forma padrão:
y' + 6\cot4x\;y = 4\,\csc4x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int 6\cot4x\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\tfrac{6}{4}\ln|\sin4x|\Bigr) =|\sin4x|^{3/2}.
No nosso domínio 0<x<\tfrac\pi4 usamos
\mu(x)=\sin^{3/2}4x.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
y'\,\sin^{3/2}4x \;+\;6\,y\,\cot4x\,\sin^{3/2}4x =4\,\csc4x\,\sin^{3/2}4x.
O lado esquerdo é a derivada de
u(x)=y\,\sin^{3/2}4x,
e o lado direito simplifica-se a
4\,\sin^{1/2}4x.
Portanto
u'(x)=4\,\sqrt{\sin4x}.

Passo 5

Integrando em x:
u(x)=\int 4\sqrt{\sin4x}\,dx + C.
Voltando a y,
y(x)=\frac{u(x)}{\sin^{3/2}4x}.

Passo 6

Para achar C usamos
x=\frac\pi{16}, \quad y\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr)=\frac1{\sqrt2},
e \sin4(\pi/16)=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}2. Então
u\!\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr) =y\!\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr)\,\sin^{3/2}4\!\bigl(\tfrac\pi{16}\bigr) =\frac1{\sqrt2}\Bigl(\frac{\sqrt2}2\Bigr)^{\!3/2} =2^{-5/4}.
Como \int_{\pi/16}^{\pi/16}4\sqrt{\sin4t}\,dt=0, segue
C=2^{-5/4}.

Resposta

y(x) =\frac{2^{-5/4} \;+\;\displaystyle \int_{\pi/16}^{\,x}4\sqrt{\sin4t}\,dt} {\sin^{3/2}4x}.

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