(2.5 pt) Resolve o problema do valor inicial,
y^{\prime \prime}+9 y=\frac{1}{\cos ^{3} 3 x}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+9y=\frac1{\cos^3(3x)},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0.
Isto é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo f(x)=\operatorname{sec}^3(3x). Vamos usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''+9y=0.
A equação característica é m^2+9=0, com raízes m=\pm3i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).

Passo 3

Para variação de parâmetros, escolhemos
y_1=\cos(3x),\quad y_2=\sin(3x).
O wronskiano é
W = y_1y_2' - y_1'y_2 = \cos(3x)\cdot(3\cos(3x)) - (-3\sin(3x))\cdot\sin(3x) =3\bigl(\cos^2(3x)+\sin^2(3x)\bigr)=3.
As fórmulas para os coeficientes variáveis são
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W} = -\frac{\operatorname{sec}^3(3x)\,\sin(3x)}{3}, \quad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W} = \frac{\operatorname{sec}^3(3x)\,\cos(3x)}{3}.

Passo 4

Integramos u_1' e u_2':
  1. u_1' = -\frac13\tan(3x)\operatorname{sec}^2(3x). Fazendo v=\operatorname{sec}^2(3x), dv=6\operatorname{sec}^2(3x)\tan(3x)\,dx, obtemos
u_1 = -\frac1{18}\operatorname{sec}^2(3x).
  1. u_2' = \tfrac13\operatorname{sec}^2(3x). Como \int\operatorname{sec}^2(3x)\,dx=\tfrac13\tan(3x), segue
u_2 = \frac{\tan(3x)}{9}.

Passo 5

A solução particular é
y_p = u_1y_1 + u_2y_2 = -\frac{\operatorname{sec}^2(3x)}{18}\cos(3x) + \frac{\tan(3x)}{9}\sin(3x).
Simplificando cada termo em função de \cos(3x) e \operatorname{sec}(3x), obtém‐se
y_p = -\frac{1}{9}\cos(3x) + \frac{1}{18}\operatorname{sec}(3x).

Passo 6

A solução geral é
y = y_h + y_p = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) - \frac{1}{9}\cos(3x) + \frac{1}{18}\operatorname{sec}(3x),
ou seja
y = \bigl(C_1-\tfrac19\bigr)\cos(3x) + C_2\sin(3x) + \tfrac{1}{18}\operatorname{sec}(3x).
Impondo as condições iniciais:
  1. Em x=0: \cos0=1, \sin0=0, \sec0=1.
y(0)=\bigl(C_1-\tfrac19\bigr)\cdot1 + 0 + \tfrac{1}{18} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1-\tfrac19 = 1-\tfrac{1}{18} = \tfrac{17}{18}.
  1. Derivando
y'(x) = -3\bigl(C_1-\tfrac19\bigr)\sin(3x) +3C_2\cos(3x) +\tfrac{1}{18}\cdot3\operatorname{sec}(3x)\tan(3x).
Em x=0 isso dá y'(0)=3C_2=0, logo C_2=0.
Portanto C_1-\tfrac19=\tfrac{17}{18} e C_2=0.

Resposta

\boxed{ y(x) = \frac{17}{18}\cos(3x) \;+\;\frac{1}{18}\operatorname{sec}(3x). }

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