(2.5 pt) Resolve o problema do valor inicial,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo
. Vamos usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para variação de parâmetros, escolhemos
O wronskiano é
As fórmulas para os coeficientes variáveis são
Passo 4
Integramos
e
:
-
. Fazendo , , obtemos
-
. Como , segue
Passo 5
A solução particular é
Simplificando cada termo em função de
e
, obtém‐se
Passo 6
A solução geral é
ou seja
Impondo as condições iniciais:
- Em
: , , .
- Derivando
Em
isso dá
, logo
.
Portanto
e
.