( 2,5 \mathrm{pt}) Um tanque contém 200 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura bem misturada é então drenada a uma taxa de 2 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal A(t) em gramas em qualquer instante. Quantos gramas de sal haverá no tanque após 50 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura: num tanque há inicialmente 200\\ \mathrm{L} de água pura, sem sal, então A(0)=0. Entra solução salina com concentração de 2\\ \mathrm{g/L} a uma vazão de 6\\ \mathrm{L/min}, ou seja, entra sal a 12\\ \mathrm{g/min}. Sai mistura bem misturada a 2\\ \mathrm{L/min}. Vamos achar A(t), a quantidade de sal em gramas no tempo t, e depois calcular A(50).

Passo 2

Em t minutos o volume no tanque é
V(t)=200+(6-2)\,t=200+4t.
A variação de sal satisfaz
\frac{dA}{dt} = (\text{taxa de entrada}) - (\text{taxa de saída}) = 12 - \bigl(\tfrac{A}{V(t)}\bigr)\cdot 2í
ou seja
\frac{dA}{dt} + \frac{2}{200+4t}\,A = 12.

Passo 3

É uma EDO linear de coeficiente variável. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{200+4t}\,dt\Bigr) = (200+4t)^{\tfrac12}.
Multiplicando a equação por \mu(t) temos
\frac{d}{dt}\bigl(A\,(200+4t)^{\tfrac12}\bigr) = 12\,(200+4t)^{\tfrac12}.
Integrando em t,
A\,(200+4t)^{\tfrac12} = \int 12\,(200+4t)^{\tfrac12}\,dt + C = 2\,(200+4t)^{\tfrac32} + C.
Dividindo por (200+4t)^{\tfrac12} resulta
A(t) = 2\,(200+4t) + C\,(200+4t)^{-\tfrac12}.

Passo 4

Impondo A(0)=0 com 200+4\cdot0=200
0 = 2\cdot200 + C\,(200)^{-\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad C = -400\sqrt{200}.
Logo
A(t) = 400 + 8t \;-\; 400\sqrt{200}\,(200+4t)^{-\tfrac12} = 400 + 8t - 400\,\sqrt{\frac{200}{200+4t}}.

Passo 5

Para t=50 temos 200+4\cdot50=400 e \sqrt{200/400}=\tfrac1{\sqrt2}, então
A(50) = 400 + 8\cdot50 - 400\cdot\frac1{\sqrt2} = 800 - \frac{400}{\sqrt2} = 800 - 200\sqrt2 \approx 517{,}16\\ \mathrm{g}.

Resposta

A quantidade de sal em função do tempo é
A(t) = 400 + 8t - 400\,\sqrt{\frac{200}{200+4t}}.
Após 50 minutos há
A(50) = 800 - 200\sqrt2 \approx 517{,}16\\ \mathrm{g}.

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