(
Um tanque contém 200 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura bem misturada é então drenada a uma taxa de 2 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal
em gramas em qualquer instante. Quantos gramas de sal haverá no tanque após 50 minutos?
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura: num tanque há inicialmente
de água pura, sem sal, então
. Entra solução salina com concentração de
a uma vazão de
, ou seja, entra sal a
. Sai mistura bem misturada a
. Vamos achar
, a quantidade de sal em gramas no tempo
, e depois calcular
.
Passo 2
Em
minutos o volume no tanque é
A variação de sal satisfaz
ou seja
Passo 3
É uma EDO linear de coeficiente variável. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
temos
Integrando em
,
Dividindo por
resulta
Passo 4
Impondo
com
dá
Logo
Passo 5
Para
temos
e
, então
Resposta
A quantidade de sal em função do tempo é
Após 50 minutos há