Use o PIM para provar as propriedades abaixo entre os termos da sequência de Fibonacci, para todo natural n \geq 1.
F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2 n-3}+F_{2 n-1}=F_{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Princípio da Indução Matemática, que para todo n\ge1 vale
F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2n-1}=F_{2n},
onde \{F_k\} é a sequência de Fibonacci definida por F_1=1, F_2=1 e F_{k+2}=F_{k+1}+F_k. Vamos usar a ideia padrão de indução: verificar o caso base n=1 e depois mostrar que, se a fórmula vale para um n=k, ela vale também para n=k+1.

Passo 2

(Caso base) Para n=1 a soma do lado esquerdo tem só um termo:
F_{1}=1,
e o lado direito é
F_{2\cdot1}=F_{2}=1.
Logo a igualdade se mantém em n=1.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que, para algum k\ge1,
F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2k-1}=F_{2k}.
Queremos mostrar que
F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2k-1}+F_{2(k+1)-1}=F_{2(k+1)}.
No lado esquerdo desta última soma temos a soma até 2k-1, que pela hipótese vale F_{2k}, mais o termo F_{2k+1}. Assim,
F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2k-1}+F_{2k+1} =F_{2k}+F_{2k+1}.
Pela relação de recorrência de Fibonacci,
F_{2k+2}=F_{2k+1}+F_{2k}.
Logo
F_{2k}+F_{2k+1}=F_{2k+2}=F_{2(k+1)},
que é exatamente o que queríamos provar para n=k+1.

Passo 4

Concluímos, pelo Princípio da Indução Matemática, que para todo natural n\ge1 vale
F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2n-1}=F_{2n}.

Resposta

A soma F_{1}+F_{3}+\cdots+F_{2n-1} é igual a F_{2n} para todo n\ge1.

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