Use o PIM para provar as propriedades abaixo entre os termos da sequência de Fibonacci, para todo natural
.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o Princípio da Indução Matemática, que para todo
vale
onde
é a sequência de Fibonacci definida por
,
e
. Vamos usar a ideia padrão de indução: verificar o caso base
e depois mostrar que, se a fórmula vale para um
, ela vale também para
.
Passo 2
(Caso base) Para
a soma do lado esquerdo tem só um termo:
e o lado direito é
Logo a igualdade se mantém em
.
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que, para algum
,
Queremos mostrar que
No lado esquerdo desta última soma temos a soma até
, que pela hipótese vale
, mais o termo
. Assim,
Pela relação de recorrência de Fibonacci,
Logo
que é exatamente o que queríamos provar para
.
Passo 4
Concluímos, pelo Princípio da Indução Matemática, que para todo natural
vale
Resposta
A soma
é igual a
para todo
.