(
) Um termômetro é removido de uma sala e colocado na rua, onde a temperatura é de 10 graus Celsius. Em um minuto o termômetro marcava 25 graus Celsius, em dois minutos a temperatura marcada pelo termômetro foi de 20 graus. Usando a lei de resfriamento de Newton encontre a temperatura marcada pelo termômetro como a função do tempo,
em qualquer instante
. Qual é a temperatura da sala?
Passo 1
O enunciado descreve um termômetro que estava inicialmente em equilíbrio com a temperatura da sala (que chamaremos de
) e, ao ser levado para a rua, entrou em contato com temperatura ambiente
. Em seguida mediu-se
e
. O conteúdo a usar é a lei de resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura
satisfaz
onde
é a constante de resfriamento.
Passo 2
Para resolver
separamos variáveis e integramos, obtendo a solução geral
Aqui
é a temperatura inicial do termômetro, que corresponde à temperatura da sala
. Logo
Passo 3
Aplicamos a condição em
minuto, onde
:
Passo 4
Aplicamos a condição em
minutos, onde
:
Passo 5
Dividindo a equação de
pela de
para eliminar
:
Passo 6
Substituímos
em
para achar
:
Resposta
A temperatura marcada pelo termômetro em qualquer instante
é
e a temperatura inicial da sala era
.