( 2,5 \mathrm{pt} ) Um termômetro é removido de uma sala e colocado na rua, onde a temperatura é de 10 graus Celsius. Em um minuto o termômetro marcava 25 graus Celsius, em dois minutos a temperatura marcada pelo termômetro foi de 20 graus. Usando a lei de resfriamento de Newton encontre a temperatura marcada pelo termômetro como a função do tempo, T(t) em qualquer instante t. Qual é a temperatura da sala?

Passo 1

O enunciado descreve um termômetro que estava inicialmente em equilíbrio com a temperatura da sala (que chamaremos de T_s) e, ao ser levado para a rua, entrou em contato com temperatura ambiente T_a=10^\circ\mathrm{C}. Em seguida mediu-se T(1)=25^\circ\mathrm{C} e T(2)=20^\circ\mathrm{C}. O conteúdo a usar é a lei de resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura T(t) satisfaz
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 2

Para resolver \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr) separamos variáveis e integramos, obtendo a solução geral
T(t)=T_a + \bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{-k t}.
Aqui T(0) é a temperatura inicial do termômetro, que corresponde à temperatura da sala T_s. Logo
T(t)=10 + (T_s-10)\,e^{-k t}.

Passo 3

Aplicamos a condição em t=1 minuto, onde T(1)=25:
25 = 10 + (T_s-10)\,e^{-k}\quad\Longrightarrow\quad (T_s-10)\,e^{-k} = 15.

Passo 4

Aplicamos a condição em t=2 minutos, onde T(2)=20:
20 = 10 + (T_s-10)\,e^{-2k}\quad\Longrightarrow\quad (T_s-10)\,e^{-2k} = 10.

Passo 5

Dividindo a equação de t=1 pela de t=2 para eliminar (T_s-10):
\frac{(T_s-10)\,e^{-k}}{(T_s-10)\,e^{-2k}} = \frac{15}{10} \quad\Longrightarrow\quad e^{k} = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad k = \ln(1{,}5).

Passo 6

Substituímos k em (T_s-10)\,e^{-k}=15 para achar T_s:
T_s-10 = 15\,e^{k} = 15\cdot1{,}5 = 22{,}5 \quad\Longrightarrow\quad T_s = 32{,}5^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura marcada pelo termômetro em qualquer instante t é
T(t) = 10 + 22{,}5\,e^{-t\ln(1{,}5)} \quad\text{(graus Celsius)},
e a temperatura inicial da sala era T_s = 32{,}5^\circ\mathrm{C}.

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