(2.5 pt) Um tanque contém 400 litros de água pura. Uma solução salina contendo 1 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 12 litros por minuto. A mistura bem misturada é então drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal
em gramas em qualquer instante Quantos gramas de sal haverá no tanque após 50 minutos?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque que contém inicialmente
L de água pura (logo
g de sal). Entra solução com concentra-ção de
g/L a
L/min e sai a mistura bem misturada a
L/min. Queremos achar a função
que dá a quantidade de sal (em gramas) no instante
, e depois calcular
. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem aplicado a um problema de mistura.
Passo 2
Definimos
o volume no tanque em litros. Como entram
L/min e saem
L/min, temos
A quantidade de sal
satisfaz
Passo 3
Escrevendo a EDO em forma padrão, temos
Isto é uma EDO linear de coeficiente
.
Passo 4
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integrando em
, use
,
:
Passo 6
Voltando a
,
Como
e
,
Passo 7
Logo a solução é
Passo 8
Para
temos
, então
Resposta
A quantidade de sal em qualquer instante é
e após 50 minutos há aproximadamente
g de sal no tanque.