(2.5 pt) Um tanque contém 400 litros de água pura. Uma solução salina contendo 1 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 12 litros por minuto. A mistura bem misturada é então drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal A(t) em gramas em qualquer instante Quantos gramas de sal haverá no tanque após 50 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque que contém inicialmente 400 L de água pura (logo A(0)=0 g de sal). Entra solução com concentra-ção de 1 g/L a 12 L/min e sai a mistura bem misturada a 4 L/min. Queremos achar a função A(t) que dá a quantidade de sal (em gramas) no instante t, e depois calcular A(50). O conteúdo é EDO linear de primeira ordem aplicado a um problema de mistura.

Passo 2

Definimos V(t) o volume no tanque em litros. Como entram 12 L/min e saem 4 L/min, temos
V(t)=400+(12-4)t=400+8t.
A quantidade de sal A(t) satisfaz
\frac{dA}{dt}=\text{taxa de entrada}-\text{taxa de saída} =12\cdot1-\;4\cdot\frac{A}{V(t)} =12-\frac{4A}{400+8t}.í

Passo 3

Escrevendo a EDO em forma padrão, temos
\frac{dA}{dt}+\frac{4}{400+8t}\,A=12.
Isto é uma EDO linear de coeficiente p(t)=\tfrac{4}{400+8t}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int \frac{4}{400+8t}\,dt\Bigr) =\exp\!\Bigl(\tfrac{4}{8}\ln(400+8t)\Bigr) =(400+8t)^{1/2}.

Passo 5

Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(A\,(400+8t)^{1/2}\bigr) =12\,(400+8t)^{1/2}.
Integrando em t, use u=400+8t, du=8\,dt:
A\,(400+8t)^{1/2} =\int 12\,(400+8t)^{1/2}\,dt + C =\int 12\,u^{1/2}\frac{du}{8}+C =u^{3/2}+C.

Passo 6

Voltando a t,
A\,(400+8t)^{1/2}=(400+8t)^{3/2}+C \quad\Longrightarrow\quad A(t)=(400+8t)-C\,(400+8t)^{-1/2}.
Como A(0)=0 e 400+8\cdot0=400,
0=400 - C\cdot 400^{-1/2} \;\Longrightarrow\; C=400\cdot\sqrt{400}=400\cdot20=8000.

Passo 7

Logo a solução é
A(t)=(400+8t)-\frac{8000}{\sqrt{400+8t}}.

Passo 8

Para t=50 temos 400+8\cdot50=800, então
A(50)=800-\frac{8000}{\sqrt{800}} =800-\frac{8000}{20\sqrt2} =800-200\sqrt2\approx517{,}16\text{ g}.

Resposta

A quantidade de sal em qualquer instante é
A(t)=(400+8t)-\frac{8000}{\sqrt{400+8t}},
e após 50 minutos há aproximadamente 517{,}16 g de sal no tanque.

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