(2,5 pt) Resolve a equação diferencial
\left(y^{3}+2 x^{2} y\right) d x-2 x^{3} d y=0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{3}+2x^{2}y\bigr)\,dx \;-\;2x^{3}\,dy=0.
Este é um caso de equação diferencial de forma homogênea, pois ambos os termos M(x,y)=y^{3}+2x^{2}y e N(x,y)=-2x^{3} são homogêneos de grau 3. Vamos usar a substituição padrão para homogêneas.

Passo 2

Para aplicar a técnica de homogêneas, escrevemos a equação na forma dy/dx=\dots. Dividindo por dx e isolando dy/dx, obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{y^{3}+2x^{2}y}{2x^{3}} =\frac{y^{3}}{2x^{3}}+\frac{2x^{2}y}{2x^{3}} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3}+\frac{y}{x}.

Passo 3

Fazemos a substituição \displaystyle y=v x, logo \displaystyle \frac{y}{x}=v e
\frac{dy}{dx} =v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na expressão de \,dy/dx, tem-se
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{1}{2}v^{3} + v.

Passo 4

Simplificando o termo v em ambos os lados, vem
x\frac{dv}{dx} =\frac{1}{2}\,v^{3}.
Isto é uma equação de variáveis separáveis:
\frac{dv}{v^{3}} =\frac{dx}{2x}.

Passo 5

Integramos os dois lados:
\int v^{-3}\,dv =\int \frac{1}{2}\,\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{2v^{2}} =\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C.
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando:
-\frac{1}{v^{2}}=\ln\lvert x\rvert + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{v^{2}} + \ln\lvert x\rvert = C_{2}.

Passo 6

Voltando a v=y/x, temos \displaystyle \frac{1}{v^{2}}=\frac{x^{2}}{y^{2}}. Logo a solução implícita fica
\frac{x^{2}}{y^{2}}+\ln\bigl\lvert x\bigr\rvert = C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

\frac{x^{2}}{y^{2}}+\ln\bigl\lvert x\bigr\rvert = C.

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