\mathrm{x}=4 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}, \mathrm{y}=3 \mathrm{t}. a) Escrever \mathrm{r}(\mathrm{t}). b) Determinar a equação da trajectória. c) Calcular \mathrm{v}_{\mathrm{m}} entre \mathrm{t}=0 \mathrm{et}=2. d) Calcular o raio de curvatura em \mathrm{t}=1.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas do movimento:
x=4t-t^{2},\qquad y=3t.
As perguntas são:
  1. (a) Escrever \mathbf{r}(t).
  2. (b) Determinar a equação da trajetória (eliminar o parâmetro \,t).
  3. (c) Calcular \,v_{m} entre \,t=0 e \,t=2.
  4. (d) Calcular o raio de curvatura em \,t=1.
Anotação das informações relevantes dadas:
x(t)=4t-t^{2},\qquad y(t)=3t.
Não há figura adicional; tudo que precisamos está nas fórmulas acima.

Passo 2

(a) Escrever \mathbf{r}(t).
Explicação didática rápida: um vetor posição \mathbf{r}(t) em plano é simplesmente o vetor cujas componentes são as coordenadas x(t) e y(t). Escrevemos em forma de coluna ou em forma vetorial.
Então escrevemos
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4t-t^{2}\\[4pt]3t\end{pmatrix}.
Isso é tudo para (a): \mathbf{r}(t) é o vetor posição.]

Passo 3

(b) Determinar a equação da trajetória — eliminar o parâmetro \,t.
Estratégia didática: para eliminar o parâmetro, isolamos \,t numa das equações (a mais simples) e substituímos na outra. Aqui a equação y=3t é linear em \,t, então isolamos \,t:
t=\frac{y}{3}.
Substituímos esse valor em x=4t-t^{2}:
x=4\left(\frac{y}{3}\right)-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}.
Calculemos os termos:
x=\frac{4y}{3}-\frac{y^{2}}{9}.
Multiplicando por 9 para limpar denominadores:
9x=12y-y^{2}.
Reorganizando em forma mais usual (polinomial em y):
y^{2}-12y+9x=0.
Comentário didático: essa é a equação cartesiana da trajetória; é uma parábola (um termo em y^{2} e termo misto com x). Se preferir, a forma x=\dfrac{4y}{3}-\dfrac{y^{2}}{9} também descreve a mesma curva.

Passo 4

(c) Calcular \,v_{m} entre \,t=0 e \,t=2.
Primeiro esclarecimento didático importante (pois essa parte costuma gerar confusão): existem dois conceitos distintos
  • velocidade média vetorial: é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo,
  • velocidade média escalar (ou rapidez média): é a distância percorrida total dividida pelo tempo total.
Quando o enunciado escreve \,v_{m} sem especificar, o uso mais comum em cinemática é a velocidade média vetorial. Vou calcular primeiro a velocidade média vetorial e em seguida dou a rapidez média (magnitude) para que você saiba ambos — assim você fica seguro na prova.
Cálculo da velocidade média vetorial:
\mathbf{v}_{m}=\frac{\mathbf{r}(t_{2})-\mathbf{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui \,t_{1}=0 e \,t_{2}=2. Calculamos \mathbf{r}(0) e \mathbf{r}(2).
Usando \mathbf{r}(t) do Passo 2:
\mathbf{r}(0)=\begin{pmatrix}4\cdot0-0^{2}\\[4pt]3\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{r}(2)=\begin{pmatrix}4\cdot2-2^{2}\\[4pt]3\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-4\\[4pt]6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Deslocamento:
\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Intervalo de tempo \,t_{2}-t_{1}=2-0=2. Portanto
\mathbf{v}_{m}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Agora, se quiser a rapidez média (magnitude da distância percorrida dividida pelo tempo): precisamos da distância percorrida entre \,t=0 e \,t=2. A distância percorrida é o comprimento da curva do movimento sobre esse intervalo; aqui podemos computar usando a integral da velocidade escalar, mas como as componentes são simples, primeiro encontramos a velocidade instantânea \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e sua magnitude, e então integrar. Vou mostrar rapidamente:
Derivando \mathbf{r}(t):
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\[4pt]y'(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4-2t\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A velocidade escalar instantânea (rapidez) é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(4-2t)^{2}+3^{2}}=\sqrt{(4-2t)^{2}+9}.
A distância percorrida de 0 a 2 é
s=\int_{0}^{2}\|\mathbf{v}(t)\|\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{(4-2t)^{2}+9}\,dt.
Essa integral é um pouco trabalhosa analiticamente (envovle substituição trigonométrica), então em prova normalmente basta indicar o procedimento, ou então a questão queria a velocidade média vetorial (mais simples). Para informação completa, se alguém pedir a rapidez média numérica, poderíamos avaliar a integral; mas aqui mantenho o foco na velocidade média vetorial, que é
\mathbf{v}_{m}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Também a magnitude dessa velocidade média vetorial é
\|\mathbf{v}_{m}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}.]

Passo 5

(d) Calcular o raio de curvatura em \,t=1.
Aula didática sobre curvatura e raio de curvatura:
  • Para uma curva plana dada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) com derivadas suficientemente suaves, a curvatura \kappa(t) mede quanto a trajetória está “curvando” naquele instante. Uma fórmula prática em coordenadas paramétricas é
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=\frac{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}.
Essas fórmulas vêm da definição geométrica da curvatura e de manipulações com derivadas do vetor tangente unitário; aqui usamos a forma já conhecida e prática para cálculos.
Agora aplicamos ao nosso caso. Já tínhamos:
x(t)=4t-t^{2},\qquad y(t)=3t.
Derivadas:
x'(t)=4-2t,\qquad x''(t)=-2,
y'(t)=3,\qquad y''(t)=0.
Calculemos os termos da fórmula em t=1.
Primeiro o numerador absoluto:
|x'(1)y''(1)-y'(1)x''(1)|=|(4-2\cdot1)\cdot 0 - 3\cdot(-2)|=|0+6|=6.
Agora o denominador interno:
x'(1)^{2}+y'(1)^{2}=(4-2\cdot1)^{2}+3^{2}=2^{2}+9=4+9=13.
Logo
\bigl(x'(1)^{2}+y'(1)^{2}\bigr)^{3/2}=13^{3/2}.
Portanto a curvatura em t=1 é
\kappa(1)=\frac{6}{13^{3/2}}.
E o raio de curvatura em t=1 é
\rho(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{13^{3/2}}{6}=\frac{13\sqrt{13}}{6}.
Se quiser um valor aproximado numérico:
13^{1/2}\approx 3{,}6055\quad\Rightarrow\quad 13^{3/2}=13\sqrt{13}\approx 46{,}8715,
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\rho(1)\approx \frac{46{,}8715}{6}\approx 7{,}8119.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}4t-t^{2}\\[4pt]3t\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle x=\frac{4y}{3}-\frac{y^{2}}{9}\quad ou \displaystyle y^{2}-12y+9x=0.
(c) \displaystyle \mathbf{v}_{m}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} (velocidade média vetorial); \|\mathbf{v}_{m}\|=\sqrt{13}.
(d) \displaystyle \rho(1)=\frac{13^{3/2}}{6}=\frac{13\sqrt{13}}{6}\approx 7{,}8119.]

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