. a) Escrever
. b) Determinar a equação da trajectória. c) Calcular
entre
. d) Calcular o raio de curvatura em
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas do movimento:
As perguntas são:
- (a) Escrever
. - (b) Determinar a equação da trajetória (eliminar o parâmetro
). - (c) Calcular
entre e . - (d) Calcular o raio de curvatura em
.
Anotação das informações relevantes dadas:
Não há figura adicional; tudo que precisamos está nas fórmulas acima.
Passo 2
(a) Escrever
.
Explicação didática rápida: um vetor posição
em plano é simplesmente o vetor cujas componentes são as coordenadas
e
. Escrevemos em forma de coluna ou em forma vetorial.
Então escrevemos
Isso é tudo para (a):
é o vetor posição.]
Passo 3
(b) Determinar a equação da trajetória — eliminar o parâmetro
.
Estratégia didática: para eliminar o parâmetro, isolamos
numa das equações (a mais simples) e substituímos na outra. Aqui a equação
é linear em
, então isolamos
:
Substituímos esse valor em
:
Calculemos os termos:
Multiplicando por
para limpar denominadores:
Reorganizando em forma mais usual (polinomial em
):
Comentário didático: essa é a equação cartesiana da trajetória; é uma parábola (um termo em
e termo misto com
). Se preferir, a forma
também descreve a mesma curva.
Passo 4
(c) Calcular
entre
e
.
Primeiro esclarecimento didático importante (pois essa parte costuma gerar confusão): existem dois conceitos distintos
- velocidade média vetorial: é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo,
- velocidade média escalar (ou rapidez média): é a distância percorrida total dividida pelo tempo total.
Quando o enunciado escreve
sem especificar, o uso mais comum em cinemática é a velocidade média vetorial. Vou calcular primeiro a velocidade média vetorial e em seguida dou a rapidez média (magnitude) para que você saiba ambos — assim você fica seguro na prova.
Cálculo da velocidade média vetorial:
Aqui
e
. Calculamos
e
.
Usando
do Passo 2:
Deslocamento:
Intervalo de tempo
. Portanto
Agora, se quiser a rapidez média (magnitude da distância percorrida dividida pelo tempo): precisamos da distância percorrida entre
e
. A distância percorrida é o comprimento da curva do movimento sobre esse intervalo; aqui podemos computar usando a integral da velocidade escalar, mas como as componentes são simples, primeiro encontramos a velocidade instantânea
e sua magnitude, e então integrar. Vou mostrar rapidamente:
Derivando
:
A velocidade escalar instantânea (rapidez) é
A distância percorrida de
a
é
Essa integral é um pouco trabalhosa analiticamente (envovle substituição trigonométrica), então em prova normalmente basta indicar o procedimento, ou então a questão queria a velocidade média vetorial (mais simples). Para informação completa, se alguém pedir a rapidez média numérica, poderíamos avaliar a integral; mas aqui mantenho o foco na velocidade média vetorial, que é
Também a magnitude dessa velocidade média vetorial é
Passo 5
(d) Calcular o raio de curvatura em
.
Aula didática sobre curvatura e raio de curvatura:
- Para uma curva plana dada por
com derivadas suficientemente suaves, a curvatura mede quanto a trajetória está “curvando” naquele instante. Uma fórmula prática em coordenadas paramétricas é
- O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Essas fórmulas vêm da definição geométrica da curvatura e de manipulações com derivadas do vetor tangente unitário; aqui usamos a forma já conhecida e prática para cálculos.
Agora aplicamos ao nosso caso. Já tínhamos:
Derivadas:
Calculemos os termos da fórmula em
.
Primeiro o numerador absoluto:
Agora o denominador interno:
Logo
Portanto a curvatura em
é
E o raio de curvatura em
é
Se quiser um valor aproximado numérico:
logo
Resposta
(a)
(b) ou
(b)
(c)
(velocidade média vetorial);
(d) ]
(d)