Isso é só organizar o que o enunciado deu: a primeira coordenada é x(t) e a segunda é y(t).
Passo 3
Para obter a velocidade precisamos derivar componente a componente. Vou lembrar a regra mais importante que usamos aqui: derivada de \sin(kt) é k\cos(kt) (regra da cadeia). Aplicando isso:
Derivada da primeira componente x(t)=2\sin(2t):
x'(t)=2\cdot(2\cos(2t))=4\cos(2t).
Derivada da segunda componente y(t)=2(1-\cos(2t)):
a derivada de 1 é 0 e da -\cos(2t) é -(-2\sin(2t))=2\sin(2t) multiplicado pelo 2 que já estava fora, então
Precisamos do ponto de máximo de y. É mais simples reescrever y(t) usando uma identidade trigonométrica:
\cos(2t)=1-2\sin^2 t \quad\Rightarrow\quad 1-\cos(2t)=2\sin^2 t.
Substituindo em y(t):
y(t)=2\bigl(1-\cos(2t)\bigr)=2\cdot 2\sin^2 t=4\sin^2 t.
Agora fica óbvio: \sin^2 t varia entre 0 e 1, logo y(t) alcança o máximo y_{\max}=4 quando \sin^2 t=1, isto é quando \sin t=\pm 1. Portanto os valores de t que dão máximo de y são
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Podemos escolher, por exemplo, t_0=\frac{\pi}{2} para avaliar o raio de curvatura nesse tipo de ponto (qualquer outro t da forma acima dará o mesmo resultado se a curvatura for constante).
Passo 6
Agora vamos ao raio de curvatura. Primeiro a teoria curta e prática: para uma curva plana parametrizada por t com componentes x(t),y(t), a curvatura \kappa(t) (medida de quanto a curva “vira”) pode ser calculada por
Aqui x',y' são as derivadas primeiras (componentes da velocidade) e x'',y'' as segundas (componentes da aceleração). O raio de curvatura \rho(t) é simplesmente o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Passo 7
Vamos calcular \kappa(t) usando as derivadas que já achamos:
A curvatura é constante \kappa=\tfrac{1}{2} para todo t. Portanto o raio de curvatura é
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=2.
Em particular, no ponto de máximo de y (por exemplo t=\tfrac{\pi}{2}) o raio de curvatura vale \;2.
Resposta
\mathbf{r}(t)=\langle 2\sin(2t),\;2(1-\cos(2t))\rangle \ \mathbf{v}(t)=\langle 4\cos(2t),\;4\sin(2t)\rangle \ \mathbf{a}(t)=\langle -8\sin(2t),\;8\cos(2t)\rangle \
Raio de curvatura no ponto máximo de y: 2