x=2 \sin (2 t), y=2(1-\cos (2 t)). a) Determinar r(t). b) Calcular v(t), a(t) . c) Obter o raio de curvatura no ponto máximo de y.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x(t)=2\sin(2t),\qquad y(t)=2\bigl(1-\cos(2t)\bigr),
e pede três coisas:
  1. determinar o vetor posição \mathbf{r}(t);
  2. calcular a velocidade \mathbf{v}(t) e a aceleração \mathbf{a}(t);
  3. obter o raio de curvatura no ponto de máximo de y.
As informações relevantes são exatamente as duas equações acima (não falta nenhuma figura ou tabela).

Passo 2

Formamos o vetor posição juntando as componentes x(t) e y(t). Escrevemos \mathbf{r}(t) como vetor em \mathbb{R}^2:
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle=\bigl\langle 2\sin(2t),\;2(1-\cos(2t))\bigr\rangle.
Isso é só organizar o que o enunciado deu: a primeira coordenada é x(t) e a segunda é y(t).

Passo 3

Para obter a velocidade precisamos derivar componente a componente. Vou lembrar a regra mais importante que usamos aqui: derivada de \sin(kt) é k\cos(kt) (regra da cadeia). Aplicando isso:
Derivada da primeira componente x(t)=2\sin(2t):
x'(t)=2\cdot(2\cos(2t))=4\cos(2t).
Derivada da segunda componente y(t)=2(1-\cos(2t)):
a derivada de 1 é 0 e da -\cos(2t) é -(-2\sin(2t))=2\sin(2t) multiplicado pelo 2 que já estava fora, então
y'(t)=2\cdot(2\sin(2t))=4\sin(2t).
Portanto a velocidade é
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 4\cos(2t),\;4\sin(2t)\rangle.
Um comentário prático: a velocidade tem magnitude constante aqui, veja que
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(4\cos(2t))^2+(4\sin(2t))^2}=\sqrt{16(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))}=\sqrt{16}=4.
Isso significa que o ponto se move com velocidade escalar constante 4.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração como a derivada da velocidade (derivada segunda de \mathbf{r}). Derivando componente a componente:
Derivada de 4\cos(2t):
\frac{d}{dt}(4\cos(2t))=4\cdot(-2\sin(2t))=-8\sin(2t).
Derivada de 4\sin(2t):
\frac{d}{dt}(4\sin(2t))=4\cdot(2\cos(2t))=8\cos(2t).
Logo
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle -8\sin(2t),\;8\cos(2t)\rangle.

Passo 5

Precisamos do ponto de máximo de y. É mais simples reescrever y(t) usando uma identidade trigonométrica:
\cos(2t)=1-2\sin^2 t \quad\Rightarrow\quad 1-\cos(2t)=2\sin^2 t.
Substituindo em y(t):
y(t)=2\bigl(1-\cos(2t)\bigr)=2\cdot 2\sin^2 t=4\sin^2 t.
Agora fica óbvio: \sin^2 t varia entre 0 e 1, logo y(t) alcança o máximo y_{\max}=4 quando \sin^2 t=1, isto é quando \sin t=\pm 1. Portanto os valores de t que dão máximo de y são
t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Podemos escolher, por exemplo, t_0=\frac{\pi}{2} para avaliar o raio de curvatura nesse tipo de ponto (qualquer outro t da forma acima dará o mesmo resultado se a curvatura for constante).

Passo 6

Agora vamos ao raio de curvatura. Primeiro a teoria curta e prática: para uma curva plana parametrizada por t com componentes x(t),y(t), a curvatura \kappa(t) (medida de quanto a curva “vira”) pode ser calculada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Aqui x',y' são as derivadas primeiras (componentes da velocidade) e x'',y'' as segundas (componentes da aceleração). O raio de curvatura \rho(t) é simplesmente o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.

Passo 7

Vamos calcular \kappa(t) usando as derivadas que já achamos:
x'(t)=4\cos(2t),\quad x''(t)=-8\sin(2t),
y'(t)=4\sin(2t),\quad y''(t)=8\cos(2t).
Calcule o numerador N(t)=|x'y''-y'x''|:
N(t)=\bigl| (4\cos(2t))\cdot(8\cos(2t)) - (4\sin(2t))\cdot(-8\sin(2t)) \bigr|.
Distribuindo:
N(t)=\bigl|32\cos^2(2t)+32\sin^2(2t)\bigr|=32\bigl(\cos^2(2t)+\sin^2(2t)\bigr)=32.
Ótimo: o numerador é a constante 32.
Agora o denominador D(t)=\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2}:
x'^2+y'^2=(4\cos(2t))^2+(4\sin(2t))^2=16(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))=16.
Logo
D(t)=16^{3/2}=(\sqrt{16})^3=4^3=64.

Passo 8

Com numerador e denominador:
\kappa(t)=\frac{N(t)}{D(t)}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}.
A curvatura é constante \kappa=\tfrac{1}{2} para todo t. Portanto o raio de curvatura é
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=2.
Em particular, no ponto de máximo de y (por exemplo t=\tfrac{\pi}{2}) o raio de curvatura vale \;2.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle 2\sin(2t),\;2(1-\cos(2t))\rangle \
\mathbf{v}(t)=\langle 4\cos(2t),\;4\sin(2t)\rangle \
\mathbf{a}(t)=\langle -8\sin(2t),\;8\cos(2t)\rangle \
Raio de curvatura no ponto máximo de y: 2

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