\mathrm{x}=5 \mathrm{t}, \mathrm{y}=2 \mathrm{t}-0,5 \mathrm{t}^{2}. a) Determinar o vector posição e velocidade. b) Obter o vector aceleração. c) Determinar o raio de curvatura no instante \mathrm{t}=1.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas do movimento em função do tempo t:
x(t)=5t,\qquad y(t)=2t-0,5t^{2}.
Pede três coisas:
  1. Determinar o vetor posição e o vetor velocidade (letra a).
  2. Obter o vetor aceleração (letra b).
  3. Determinar o raio de curvatura no instante t=1 (letra c).
Anote: todas as informações necessárias estão nas duas funções x(t) e y(t). Vamos calcular passo a passo.

Passo 2

O que é o vetor posição? É um vetor que indica a posição do ponto em cada instante t, com as componentes x(t) e y(t). Em forma vetorial escrevemos:
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle.
Substituindo as funções dadas:
\mathbf{r}(t)=\langle 5t,\;2t-0,5t^{2}\rangle.
Explicação curta: cada componente do vetor posição é exatamente a função que o enunciado deu para x e y.

Passo 3

O que é o vetor velocidade? É a derivada temporal do vetor posição; isto é, derivamos componente a componente. Regra prática: se \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle, então
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle.
Derivando as componentes:
x'(t)=\frac{d}{dt}(5t)=5,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t-0,5t^{2}\bigr)=2-0,5\cdot 2t=2-t.
Logo o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\langle 5,\;2-t\rangle.
Comentário didático: derivada de 5t é 5 (coeficiente constante). Para 0,5t^{2} usamos a regra potência: \frac{d}{dt}t^{2}=2t, multiplicado por 0,5 t, com sinal negativo do enunciado.

Passo 4

O que é o vetor aceleração? É a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo. Derivamos componente a componente novamente:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle.
Já sabemos x'(t)=5 (constante), então
x''(t)=\frac{d}{dt}(5)=0.
E y'(t)=2-t, então
y''(t)=\frac{d}{dt}(2-t)=-1.
Portanto
\mathbf{a}(t)=\langle 0,\;-1\rangle.
Interpretação: a componente x não está acelerando (velocidade x constante), enquanto a componente y tem aceleração constante de -1.

Passo 5

Agora o raio de curvatura. Primeiro precisamos entender a curvatura \kappa de uma curva plana dada por x(t), y(t). Uma fórmula prática que usamos em provas é
\kappa(t)=\frac{|\,x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\,|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicação intuitiva: o numerador é o determinante das derivadas (equivalente à componente z de \mathbf{v}\times\mathbf{a} quando elevamos para 3D); o denominador normaliza pelas velocidades e dá a taxa de curvatura por unidade de comprimento. O raio de curvatura \rho é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.

Passo 6

Calculemos as derivadas necessárias (já computadas antes, mas organizando para usar na fórmula):
x'(t)=5,\qquad x''(t)=0,
y'(t)=2-t,\qquad y''(t)=-1.
Plugando na fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\bigl|\,5\cdot(-1)-(2-t)\cdot 0\,\bigr|}{\bigl(5^{2}+(2-t)^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{5}{\bigl(25+(2-t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observe que o sinal desapareceu por causa do valor absoluto; o numerador ficou 5 porque 5\cdot(-1)=-5 e o valor absoluto é 5.

Passo 7

Avaliação no instante t=1. Primeiro calcule o denominador:
(2-t)\big|_{t=1}=2-1=1,
25+(2-t)^{2}\big|_{t=1}=25+1=26.
Portanto
\kappa(1)=\frac{5}{26^{3/2}}.
O raio de curvatura no instante t=1 é
\rho(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{26^{3/2}}{5}=\frac{26\sqrt{26}}{5}.
Se quiser uma aproximação numérica (para checar mentalmente), temos \sqrt{26}\approx 5,099, então
\rho(1)\approx 26,51.
Mas a forma exata \dfrac{26^{3/2}}{5} é preferível em prova.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle 5t,\;2t-0,5t^{2}\rangle
\mathbf{v}(t)=\langle 5,\;2-t\rangle
\mathbf{a}(t)=\langle 0,\;-1\rangle
\rho(1)=\dfrac{26^{3/2}}{5}=\dfrac{26\sqrt{26}}{5}

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