\mathrm{x}=5 \mathrm{t}, \mathrm{y}=2 \mathrm{t}-0,5 \mathrm{t}^{2}. a) Determinar o vector posição e velocidade. b) Obter o vector aceleração. c) Determinar o raio de curvatura no instante \mathrm{t}=1.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas do movimento em função do tempo t:
x(t)=5t,\qquad y(t)=2t-0,5t^{2}.
Pede três coisas:
Determinar o vetor posição e o vetor velocidade (letra a).
Obter o vetor aceleração (letra b).
Determinar o raio de curvatura no instante t=1 (letra c).
Anote: todas as informações necessárias estão nas duas funções x(t) e y(t). Vamos calcular passo a passo.
Passo 2
O que é o vetor posição? É um vetor que indica a posição do ponto em cada instante t, com as componentes x(t) e y(t). Em forma vetorial escrevemos:
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle.
Substituindo as funções dadas:
\mathbf{r}(t)=\langle 5t,\;2t-0,5t^{2}\rangle.
Explicação curta: cada componente do vetor posição é exatamente a função que o enunciado deu para x e y.
Passo 3
O que é o vetor velocidade? É a derivada temporal do vetor posição; isto é, derivamos componente a componente. Regra prática: se \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle, então
Comentário didático: derivada de 5t é 5 (coeficiente constante). Para 0,5t^{2} usamos a regra potência: \frac{d}{dt}t^{2}=2t, multiplicado por 0,5 dá t, com sinal negativo do enunciado.
Passo 4
O que é o vetor aceleração? É a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo. Derivamos componente a componente novamente:
Interpretação: a componente x não está acelerando (velocidade x constante), enquanto a componente y tem aceleração constante de -1.
Passo 5
Agora o raio de curvatura. Primeiro precisamos entender a curvatura \kappa de uma curva plana dada por x(t), y(t). Uma fórmula prática que usamos em provas é
Explicação intuitiva: o numerador é o determinante das derivadas (equivalente à componente z de \mathbf{v}\times\mathbf{a} quando elevamos para 3D); o denominador normaliza pelas velocidades e dá a taxa de curvatura por unidade de comprimento. O raio de curvatura \rho é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
Passo 6
Calculemos as derivadas necessárias (já computadas antes, mas organizando para usar na fórmula):