x=t^{3}, y=t^{2}. a) Determinar a equação da trajectória. b) Calcular v(t) e a(t). c) Calcular o raio de curvatura em \mathrm{t}=2.

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas \;x=t^{3},\;y=t^{2}\; e pede três coisas:
  1. Determinar a equação da trajectória (ou seja, a relação entre x e y eliminando o parâmetro t).
  2. Calcular \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t) (velocidade e aceleração, presumivelmente como vectores função de t).
  3. Calcular o raio de curvatura em \;t=2.
Informações relevantes dadas:
\;x(t)=t^{3}, \;y(t)=t^{2}. Note que a partir de \;y=t^{2} vem \;y\ge 0 para todos os t.

Passo 2

Determinar a equação da trajectória eliminando t.
Explicação do procedimento: para eliminar o parâmetro isolamos uma das variáveis em função de t e substituímos na outra. Aqui é natural usar \;y=t^{2} para escrever potências de t em função de y.
Cálculo:
y=t^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}.
Também
x=t^{3}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
Igualando as duas expressões para t^{6} obtemos a relação entre x e y:
x^{2}=y^{3}.
Observação: como mencionado, \;y=t^{2}\ge 0, portanto a curva é a porção de \;x^{2}=y^{3} com \;y\ge 0. (A orientação da trajectória é dada pelo sinal de t: para t>0 o ponto fica no ramo com x>0 crescente, para t<0 o ramo com x<0.)

Passo 3

Calcular a velocidade \mathbf{v}(t) (vector) e explicar a operação.
Conceito usado: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), então \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)). Derivamos componente a componente.
Cálculo das derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2},\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Logo o vector velocidade é
\mathbf{v}(t)=(3t^{2},\,2t).
Se quiser a rapidez (módulo da velocidade), calculamos
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(3t^{2})^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}=\lvert t\rvert\sqrt{9t^{2}+4}.
Exemplo numérico rápido: em t=2, \mathbf{v}(2)=(12,4) e \|\mathbf{v}(2)\|=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.

Passo 4

Calcular a aceleração \mathbf{a}(t) (vector) e explicar a operação.
Conceito usado: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou segunda derivada da posição. Se \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t), derivamos componente a componente novamente.
Cálculo das segundas derivadas:
x''(t)=\frac{d}{dt}(3t^{2})=6t,\qquad y''(t)=\frac{d}{dt}(2t)=2.
Logo o vector aceleração é
\mathbf{a}(t)=(6t,\,2).
O módulo da aceleração é
\|\mathbf{a}(t)\|=\sqrt{(6t)^{2}+2^{2}}=\sqrt{36t^{2}+4}=2\sqrt{9t^{2}+1}.
Exemplo numérico: em t=2, \mathbf{a}(2)=(12,2) e \|\mathbf{a}(2)\|=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.

Passo 5

Preparar a fórmula da curvatura e explicar o que ela mede.
Conceito usado: para uma curva no plano parametrizada por \;x(t),y(t), a curvatura em função de t é dada por
\kappa(t)=\frac{\lvert x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\rvert}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
A curvatura mede quão “curva” é a trajectória num dado ponto; o raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa(t) para a curva dada, substituindo as derivadas já encontradas.
Temos (relembrando)
x'(t)=3t^{2},\quad x''(t)=6t,\quad y'(t)=2t,\quad y''(t)=2.
Calculemos o numerador:
x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)=3t^{2}\cdot 2 - 2t\cdot 6t=6t^{2}-12t^{2}=-6t^{2},
então o valor absoluto é \;| -6t^{2}|=6t^{2}.
O denominador é
\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(9t^{4}+4t^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(t^{2}(9t^{2}+4)\bigr)^{3/2}=|t|^{3}(9t^{2}+4)^{3/2}.
Logo a curvatura é
\kappa(t)=\frac{6t^{2}}{|t|^{3}(9t^{2}+4)^{3/2}}=\frac{6}{|t|(9t^{2}+4)^{3/2}}.
Para t>0 podemos simplificar |t|=t, ficando \kappa(t)=\dfrac{6}{t(9t^{2}+4)^{3/2}}.

Passo 7

Calcular a curvatura em \;t=2 e a partir dela o raio de curvatura \rho(2)=1/\kappa(2).
Substituindo t=2 na expressão (com t>0 usamos t em vez de |t|):
9t^{2}+4=9\cdot 4+4=36+4=40,
(9t^{2}+4)^{3/2}=40^{3/2}=40\sqrt{40}=40\cdot 2\sqrt{10}=80\sqrt{10}.
Então
\kappa(2)=\frac{6}{2\cdot 80\sqrt{10}}=\frac{6}{160\sqrt{10}}=\frac{3}{80\sqrt{10}}.
Portanto o raio de curvatura é
\rho(2)=\frac{1}{\kappa(2)}=\frac{80\sqrt{10}}{3}.

Resposta

a) x^{2}=y^{3} (com y\ge 0).
b) \mathbf{v}(t)=(3t^{2},\,2t),\quad \mathbf{a}(t)=(6t,\,2).
c) \rho(2)=\dfrac{80\sqrt{10}}{3}.

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