. a) Determinar a equação da trajectória. b) Calcular v(t) e a(t). c) Calcular o raio de curvatura em
.
Passo 1
O enunciado dá as funções paramétricas
e pede três coisas:
- Determinar a equação da trajectória (ou seja, a relação entre
e eliminando o parâmetro ). - Calcular
e (velocidade e aceleração, presumivelmente como vectores função de ). - Calcular o raio de curvatura em
.
Informações relevantes dadas:
,
. Note que a partir de
vem
para todos os
.
Passo 2
Determinar a equação da trajectória eliminando
.
Explicação do procedimento: para eliminar o parâmetro isolamos uma das variáveis em função de
e substituímos na outra. Aqui é natural usar
para escrever potências de
em função de
.
Cálculo:
Também
Igualando as duas expressões para
obtemos a relação entre
e
:
Observação: como mencionado,
, portanto a curva é a porção de
com
. (A orientação da trajectória é dada pelo sinal de
: para
o ponto fica no ramo com
crescente, para
o ramo com
.)
Passo 3
Calcular a velocidade
(vector) e explicar a operação.
Conceito usado: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Se
, então
. Derivamos componente a componente.
Cálculo das derivadas:
Logo o vector velocidade é
Se quiser a rapidez (módulo da velocidade), calculamos
Exemplo numérico rápido: em
,
e
.
Passo 4
Calcular a aceleração
(vector) e explicar a operação.
Conceito usado: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou segunda derivada da posição. Se
, derivamos componente a componente novamente.
Cálculo das segundas derivadas:
Logo o vector aceleração é
O módulo da aceleração é
Exemplo numérico: em
,
e
.
Passo 5
Preparar a fórmula da curvatura e explicar o que ela mede.
Conceito usado: para uma curva no plano parametrizada por
, a curvatura em função de
é dada por
A curvatura mede quão “curva” é a trajectória num dado ponto; o raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Passo 6
Calcular a curvatura
para a curva dada, substituindo as derivadas já encontradas.
Temos (relembrando)
Calculemos o numerador:
então o valor absoluto é
.
O denominador é
Logo a curvatura é
Para
podemos simplificar
, ficando
.
Passo 7
Calcular a curvatura em
e a partir dela o raio de curvatura
.
Substituindo
na expressão (com
usamos
em vez de
):
Então
Portanto o raio de curvatura é
Resposta
a)
(com
).
b)
c) .
b)
c)