x=t^{2}-2 t, y=\ln (1+t). a) Encontrar r(t). b) Calcular o deslocamento entre t=0 e t=2.
c) Determinar a aceleração tangencial e normal no instante t=1.
Passo 1
O enunciado dá as componentes paramétricas da posição em função de t:
x(t)=t^{2}-2t,\qquad y(t)=\ln(1+t).
As perguntas são:
(a) Encontrar \mathbf{r}(t) (vetor posição).
(b) Calcular o deslocamento entre t=0 e t=2.
(c) Determinar a aceleração tangencial e a aceleração normal no instante t=1.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as duas expressões acima para x(t) e y(t). Não há outras condições nem parâmetros extras.
Passo 2
Vamos escrever o vetor posição \mathbf{r}(t). Em movimento plano, o vetor posição é formado pelas componentes x(t) e y(t). Portanto,
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle.
Substituindo as expressões dadas no enunciado, obtemos
\mathbf{r}(t)=\langle t^{2}-2t,\;\ln(1+t)\rangle.
Explicação curta: isso significa que em cada tempo t a posição no plano tem coordenada x=t^{2}-2t e coordenada y=\ln(1+t).
Passo 3
Agora calculamos a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Derivamos componente a componente (regra básica: a derivada de um vetor é o vetor das derivadas das componentes):
\dfrac{d}{dt}\big(t^{2}-2t\big)=2t-2.
\dfrac{d}{dt}\big(\ln(1+t)\big)=\dfrac{1}{1+t} (uso da regra da cadeia: derivada de \ln(u) é u'/u, aqui u=1+t e u'=1).
Comentário: o deslocamento é um vetor vertical de magnitude \ln 3.
Passo 6
Agora a parte (c): queremos a aceleração tangencial a_{T} e a aceleração normal a_{N} em t=1.
Definições e intuição:
A aceleração tangencial a_{T} é a componente da aceleração na direção da velocidade; mede a variação do módulo da velocidade (isto é, se o corpo está acelerando ou desacelerando).
A aceleração normal a_{N} é a componente da aceleração perpendicular à velocidade; mede a variação da direção da velocidade (curvatura do caminho).
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes).
\|\mathbf{v}\| é o módulo (norma) do vetor velocidade.
Em movimento plano (2D) o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{a} pode ser interpretado como o escalar que corresponde à componente z do produto vetorial 3D quando embedamos os vetores no plano xy. O módulo do “cross” em 2D fica |v_{x}a_{y}-v_{y}a_{x}|.
Outra fórmula alternativa (às vezes mais simples) é
a_{N}=\sqrt{\|\mathbf{a}\|^{2}-a_{T}^{2}}.
Vou usar ambas as ideias para checar consistência.
Passo 7
Avaliar \mathbf{v}(1) e \|\mathbf{v}(1)\|.
Usando \mathbf{v}(t)=\langle 2t-2,\;1/(1+t)\rangle, em t=1:
Interpretação rápida: a_{T}<0 significa que o módulo da velocidade está diminuindo naquele instante (o objeto está desacelerando ao longo da direção do movimento).
Passo 10
Calcular a_{N}. Vou usar a fórmula do cross 2D e também mostrar a verificação com a fórmula alternativa.
Cálculo do “cross” em 2D (escalares das componentes):