x=t^{2}-2 t, y=\ln (1+t). a) Encontrar r(t). b) Calcular o deslocamento entre t=0 e t=2.
c) Determinar a aceleração tangencial e normal no instante t=1.

Passo 1

O enunciado dá as componentes paramétricas da posição em função de t:
x(t)=t^{2}-2t,\qquad y(t)=\ln(1+t).
As perguntas são:
  1. (a) Encontrar \mathbf{r}(t) (vetor posição).
  2. (b) Calcular o deslocamento entre t=0 e t=2.
  3. (c) Determinar a aceleração tangencial e a aceleração normal no instante t=1.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as duas expressões acima para x(t) e y(t). Não há outras condições nem parâmetros extras.

Passo 2

Vamos escrever o vetor posição \mathbf{r}(t). Em movimento plano, o vetor posição é formado pelas componentes x(t) e y(t). Portanto,
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle.
Substituindo as expressões dadas no enunciado, obtemos
\mathbf{r}(t)=\langle t^{2}-2t,\;\ln(1+t)\rangle.
Explicação curta: isso significa que em cada tempo t a posição no plano tem coordenada x=t^{2}-2t e coordenada y=\ln(1+t).

Passo 3

Agora calculamos a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Derivamos componente a componente (regra básica: a derivada de um vetor é o vetor das derivadas das componentes):
  • \dfrac{d}{dt}\big(t^{2}-2t\big)=2t-2.
  • \dfrac{d}{dt}\big(\ln(1+t)\big)=\dfrac{1}{1+t} (uso da regra da cadeia: derivada de \ln(u) é u'/u, aqui u=1+t e u'=1).
Portanto,
\mathbf{v}(t)=\langle 2t-2,\;\dfrac{1}{1+t}\rangle.

Passo 4

Em seguida, a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\mathbf{v}'(t). Derivando novamente componente a componente:
  • \dfrac{d}{dt}(2t-2)=2.
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{1+t}\right)=-\dfrac{1}{(1+t)^{2}} (novamente regra da cadeia ou regra do quociente).
Logo
\mathbf{a}(t)=\langle 2,\; -\dfrac{1}{(1+t)^{2}}\rangle.

Passo 5

Calcular o deslocamento entre t=0 e t=2. Deslocamento é a variação do vetor posição:
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0).
Primeiro avaliamos \mathbf{r}(2) e \mathbf{r}(0) usando a expressão do Passo 2.
\mathbf{r}(2)=\langle 2^{2}-2\cdot 2,\;\ln(1+2)\rangle=\langle 4-4,\;\ln 3\rangle=\langle 0,\;\ln 3\rangle.
\mathbf{r}(0)=\langle 0^{2}-2\cdot 0,\;\ln(1+0)\rangle=\langle 0,\;0\rangle.
Subtraindo,
\Delta\mathbf{r}=\langle 0,\;\ln 3\rangle-\langle 0,\;0\rangle=\langle 0,\;\ln 3\rangle.
Comentário: o deslocamento é um vetor vertical de magnitude \ln 3.

Passo 6

Agora a parte (c): queremos a aceleração tangencial a_{T} e a aceleração normal a_{N} em t=1.
Definições e intuição:
  • A aceleração tangencial a_{T} é a componente da aceleração na direção da velocidade; mede a variação do módulo da velocidade (isto é, se o corpo está acelerando ou desacelerando).
  • A aceleração normal a_{N} é a componente da aceleração perpendicular à velocidade; mede a variação da direção da velocidade (curvatura do caminho).
Fórmulas úteis (válidas em geral):
a_{T}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}, \qquad a_{N}=\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Explicação das operações:
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{a} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes).
  • \|\mathbf{v}\| é o módulo (norma) do vetor velocidade.
  • Em movimento plano (2D) o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{a} pode ser interpretado como o escalar que corresponde à componente z do produto vetorial 3D quando embedamos os vetores no plano xy. O módulo do “cross” em 2D fica |v_{x}a_{y}-v_{y}a_{x}|.
Outra fórmula alternativa (às vezes mais simples) é
a_{N}=\sqrt{\|\mathbf{a}\|^{2}-a_{T}^{2}}.
Vou usar ambas as ideias para checar consistência.

Passo 7

Avaliar \mathbf{v}(1) e \|\mathbf{v}(1)\|.
Usando \mathbf{v}(t)=\langle 2t-2,\;1/(1+t)\rangle, em t=1:
\mathbf{v}(1)=\langle 2\cdot 1-2,\;\tfrac{1}{1+1}\rangle=\langle 0,\;\tfrac{1}{2}\rangle.
O módulo é
\|\mathbf{v}(1)\|=\sqrt{0^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Avaliar \mathbf{a}(1).
Usando \mathbf{a}(t)=\langle 2,\;-1/(1+t)^{2}\rangle, em t=1:
\mathbf{a}(1)=\langle 2,\; -\tfrac{1}{(1+1)^{2}}\rangle=\langle 2,\; -\tfrac{1}{4}\rangle.

Passo 9

Calcular a_{T} em t=1 usando a_{T}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})/\|\mathbf{v}\|.
Primeiro o produto escalar:
\mathbf{v}(1)\cdot\mathbf{a}(1)=0\cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{1}{8}.
Dividindo pelo módulo \|\mathbf{v}(1)\|=\tfrac{1}{2}:
a_{T}=\frac{-\tfrac{1}{8}}{\tfrac{1}{2}}=-\tfrac{1}{4}.
Interpretação rápida: a_{T}<0 significa que o módulo da velocidade está diminuindo naquele instante (o objeto está desacelerando ao longo da direção do movimento).

Passo 10

Calcular a_{N}. Vou usar a fórmula do cross 2D e também mostrar a verificação com a fórmula alternativa.
Cálculo do “cross” em 2D (escalares das componentes):
\|\mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1)\|=\left|v_{x}a_{y}-v_{y}a_{x}\right| =\left|0\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)-\tfrac{1}{2}\cdot 2\right|=\left| -1\right|=1.
Então
a_{N}=\frac{1}{\|\mathbf{v}(1)\|}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Verificação com a fórmula alternativa:
\|\mathbf{a}(1)\|^{2}=2^{2}+\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}=4+\tfrac{1}{16}=\tfrac{65}{16}.
a_{T}^{2}=\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}.
\sqrt{\|\mathbf{a}(1)\|^{2}-a_{T}^{2}}=\sqrt{\tfrac{65}{16}-\tfrac{1}{16}}=\sqrt{\tfrac{64}{16}}=\sqrt{4}=2,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

(a) \mathbf{r}(t)=\langle t^{2}-2t,\;\ln(1+t)\rangle
(b) \Delta\mathbf{r}=\langle 0,\;\ln 3\rangle
(c) a_{T}(1)=-\tfrac{1}{4}, \;a_{N}(1)=2

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