Matricula:
Um comerciante viaja para realizar compras todo final de semana numa cidade: Cidade A, Cidade B ou Cidade C, respectivamente. Ele não tem preferência por estas cidades e as chances de viajar num final de semana está condicionada à cidade que foi visitada na semana anterior. A partir das oportunidades que observou nestas cidades, sabe que estas possibilidades ocorrem segundo as probabilidades definidas na tabela a seguir.
Tabela 1 - Probabilidades estimadas pelo comerciante
Cidades
visitadas
Probabilidades de realizar compras nas cidades
Cidade A Cidade B Cidade C
Cidade A 0,5 0,2 0,3
Cidade B 0,3 0,4 0,3
Cidade C 0,3 0,3 0,4
Sabe-se que ele viajou à Cidade C na última semana e que cada viagem custa: |c|c|c|c| hline mu (Cidade A); (Cidade B) e 4.500,00 (Cidade C). Responda as questőes a seguir ( 3,0 pontos):
a) Descreva o problema e determine o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que pretende realizar nas próximas três semanas?

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre um comerciante que viaja toda semana para comprar em uma das três cidades: A, B ou C. A escolha da próxima cidade depende de qual cidade ele visitou na semana anterior, seguindo certas probabilidades. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o menor custo médio que ele terá nas próximas três viagens, começando da última semana que ele esteve na Cidade C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cadeias de Markov e cálculo de valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades de transição entre as cidades. A tabela nos mostra as chances de ir de uma cidade para outra:
|c|c|c|c| hline Cidade Atual & Cidade A & Cidade B & Cidade C hline Cidade A & 0,5 & 0,2 & 0,3 hline Cidade B & 0,3 & 0,4 & 0,3 hline Cidade C & 0,3 & 0,3 & 0,4 hline

Passo 3

Agora, vamos associar os custos a cada cidade:
  • Cidade A: R$ 4.500,00
  • Cidade B: R$ 4.000,00
  • Cidade C: R$ 3.500,00

Passo 4

Como o comerciante começou na Cidade C, vamos calcular o custo esperado para cada uma das três semanas seguintes. Para isso, vamos multiplicar as probabilidades de transição pelas possíveis cidades e somar os resultados.

Passo 5

Semana 1:
  • Se ele vai para A: 0,3 * 4.500 = 1.350
  • Se vai para B: 0,3 * 4.000 = 1.200
  • Se fica em C: 0,4 * 3.500 = 1.400
  • Custo esperado Semana 1: 1.350 + 1.200 + 1.400 = R$ 4.950,00

Passo 6

Semana 2:
Precisamos considerar onde ele pode estar após a Semana 1 e repetir o cálculo:
  • De A:
    • Vai para A: 0,5 * 4.500 = 2.250
    • Vai para B: 0,2 * 4.000 = 800
    • Vai para C: 0,3 * 3.500 = 1.050
    • Total de A: 2.250 + 800 + 1.050 = R$ 4.100,00
  • De B:
    • Vai para A: 0,3 * 4.500 = 1.350
    • Vai para B: 0,4 * 4.000 = 1.600
    • Vai para C: 0,3 * 3.500 = 1.050
    • Total de B: 1.350 + 1.600 + 1.050 = R$ 4.000,00
  • De C:
    • Vai para A: 0,3 * 4.500 = 1.350
    • Vai para B: 0,3 * 4.000 = 1.200
    • Vai para C: 0,4 * 3.500 = 1.400
    • Total de C: 1.350 + 1.200 + 1.400 = R$ 4.950,00
  • Custo esperado Semana 2: Média ponderada = (0,3 * 4.100) + (0,3 * 4.000) + (0,4 * 4.950) = 1.230 + 1.200 + 1.980 = R$ 4.410,00

Passo 7

Semana 3:
Repetindo o processo para a Semana 3:
  • De A: R$ 4.100,00
  • De B: R$ 4.000,00
  • De C: R$ 4.950,00
  • Custo esperado Semana 3: (0,3 * 4.100) + (0,3 * 4.000) + (0,4 * 4.950) = 1.230 + 1.200 + 1.980 = R$ 4.410,00

Resposta

O menor valor do custo médio esperado nas próximas três semanas é de R$ 4.420,00.

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