Matricula:
Um comerciante viaja para realizar compras todo final de semana numa cidade: Cidade A, Cidade B ou Cidade C, respectivamente. Ele não tem preferência por estas cidades e as chances de viajar num final de semana está condicionada à cidade que foi visitada na semana anterior.
partir das oportunidades que observou nestas cidades, sabe que estas possibilidades ocorrem segundo as probabilidades definidas na tabela a seguir.
Tabela 1 - Probabilidades estimadas pelo comerciante
Cidades
visitadas
Probabilidades de realizar compras nas cidades
Cidade A
Cidade B
Cidade C
Cidade A
0,5
0,2
0,3
Cidade B
0,3
0,4
0,3
Cidade C
0,3
0,3
0,4
Sabe-se que ele viajou à Cidade C na última semana e que cada viagem custa:
(Cidade A);
(Cidade B) e
(Cidade C). Responda as questőes a seguir ( 3,0 pontos):
a) Descreva o problema e determine o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que pretende realizar nas próximas três semanas?
Um comerciante viaja para realizar compras todo final de semana numa cidade: Cidade A, Cidade B ou Cidade C, respectivamente. Ele não tem preferência por estas cidades e as chances de viajar num final de semana está condicionada à cidade que foi visitada na semana anterior.
Tabela 1 - Probabilidades estimadas pelo comerciante
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Probabilidades de realizar compras nas cidades | ||||
Cidade A | Cidade B | Cidade C | |||
Cidade A | 0,5 | 0,2 | 0,3 | ||
Cidade B | 0,3 | 0,4 | 0,3 | ||
Cidade C | 0,3 | 0,3 | 0,4 |
a) Descreva o problema e determine o menor valor do custo médio esperado de uma viagem que pretende realizar nas próximas três semanas?
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre um comerciante que viaja toda semana para comprar em uma das três cidades: A, B ou C. A escolha da próxima cidade depende de qual cidade ele visitou na semana anterior, seguindo certas probabilidades. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o menor custo médio que ele terá nas próximas três viagens, começando da última semana que ele esteve na Cidade C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cadeias de Markov e cálculo de valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades de transição entre as cidades. A tabela nos mostra as chances de ir de uma cidade para outra:
Passo 3
Agora, vamos associar os custos a cada cidade:
- Cidade A: R$ 4.500,00
- Cidade B: R$ 4.000,00
- Cidade C: R$ 3.500,00
Passo 4
Como o comerciante começou na Cidade C, vamos calcular o custo esperado para cada uma das três semanas seguintes. Para isso, vamos multiplicar as probabilidades de transição pelas possíveis cidades e somar os resultados.
Passo 5
Semana 1:
- Se ele vai para A: 0,3 * 4.500 = 1.350
- Se vai para B: 0,3 * 4.000 = 1.200
- Se fica em C: 0,4 * 3.500 = 1.400
- Custo esperado Semana 1: 1.350 + 1.200 + 1.400 = R$ 4.950,00
Passo 6
Semana 2:
Precisamos considerar onde ele pode estar após a Semana 1 e repetir o cálculo:
Precisamos considerar onde ele pode estar após a Semana 1 e repetir o cálculo:
- De A:
- Vai para A: 0,5 * 4.500 = 2.250
- Vai para B: 0,2 * 4.000 = 800
- Vai para C: 0,3 * 3.500 = 1.050
- Total de A: 2.250 + 800 + 1.050 = R$ 4.100,00
- De B:
- Vai para A: 0,3 * 4.500 = 1.350
- Vai para B: 0,4 * 4.000 = 1.600
- Vai para C: 0,3 * 3.500 = 1.050
- Total de B: 1.350 + 1.600 + 1.050 = R$ 4.000,00
- De C:
- Vai para A: 0,3 * 4.500 = 1.350
- Vai para B: 0,3 * 4.000 = 1.200
- Vai para C: 0,4 * 3.500 = 1.400
- Total de C: 1.350 + 1.200 + 1.400 = R$ 4.950,00
- Custo esperado Semana 2: Média ponderada = (0,3 * 4.100) + (0,3 * 4.000) + (0,4 * 4.950) = 1.230 + 1.200 + 1.980 = R$ 4.410,00
Passo 7
Semana 3:
Repetindo o processo para a Semana 3:
Repetindo o processo para a Semana 3:
- De A: R$ 4.100,00
- De B: R$ 4.000,00
- De C: R$ 4.950,00
- Custo esperado Semana 3: (0,3 * 4.100) + (0,3 * 4.000) + (0,4 * 4.950) = 1.230 + 1.200 + 1.980 = R$ 4.410,00
Resposta
O menor valor do custo médio esperado nas próximas três semanas é de R$ 4.420,00.