é inversível e obter a sua inversa. Informações dadas:
\text{Dado: }A\text{ é a matriz }4\times4\text{ acima.}é
Perguntas que precisamos responder:
Provar que A é inversível (ou seja, que existe A^{-1}).
Calcular explicitamente A^{-1}.
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada \left[A\mid I\right].
Por que esse método? Porque é um procedimento sistemático que transforma a matriz à esquerda em I usando operações elementares de linha; ao mesmo tempo a parte direita da matriz aumentada se transforma em A^{-1}. É prático e executável à mão para uma 4\times4. Vou mostrar cada operação e explicar os cálculos.
Passo 3
Formo a matriz aumentada inicial \left[A\mid I\right]:
Isso significa que A é inversível (pois conseguimos transformar à esquerda em I sem encontrar pivô zero) e a parte direita atual é precisamente A^{-1}. Copiando a parte direita, temos:
Verificação rápida (intuição): se multiplicarmos A por essa matriz à direita, obteremos I. Não vou multiplicar todos os termos aqui passo a passo (poderia ser feito como checagem), mas o algoritmo Gauss–Jordan garante que o resultado é correto porque transformamos [A\mid I] em [I\mid A^{-1}] usando operações reversíveis de linha.