Mostre que esta matriz é inversível e obtenha sua inversa.
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right]
é inversível e obter a sua inversa. Informações dadas:
\text{Dado: }A\text{ é a matriz }4\times4\text{ acima.}é
Perguntas que precisamos responder:
  1. Provar que A é inversível (ou seja, que existe A^{-1}).
  2. Calcular explicitamente A^{-1}.

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada \left[A\mid I\right].
Por que esse método? Porque é um procedimento sistemático que transforma a matriz à esquerda em I usando operações elementares de linha; ao mesmo tempo a parte direita da matriz aumentada se transforma em A^{-1}. É prático e executável à mão para uma 4\times4. Vou mostrar cada operação e explicar os cálculos.

Passo 3

Formo a matriz aumentada inicial \left[A\mid I\right]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Para facilitar as eliminações, troco a linha 1 com a linha 3 (porque a linha 3 tem um 1 na primeira coluna, bom pivô):
R_1 \leftrightarrow R_3.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Elimino as entradas abaixo do pivô da coluna 1 usando R_1:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1.
Calculemos cada uma (faço só os vetores direito para não perder os números):
  • Para R_2 direita: [0,1,0,0]-3[0,0,1,0]=[0,1,-3,0].
  • Para R_3 direita: [1,0,0,0]-2[0,0,1,0]=[1,0,-2,0].
  • Para R_4 direita: [0,0,0,1]-4[0,0,1,0]=[0,0,-4,1].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora quero um pivô 1 na segunda coluna. A linha R_3 já tem 1 na coluna 2, então troco R_2 com R_3:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Elimino as entradas na coluna 2 (acima já é zero; abaixo uso R_2):
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2.
Calculemos as partes direitas:
  • R_3 direita: [0,1,-3,0]-2[1,0,-2,0]=[0-2,\,1-0,\, -3-(-4),\,0-0]=[-2,\,1,\,1,\,0].
  • R_4 direita: [0,0,-4,1]-3[1,0,-2,0]=[0-3,\,0-0,\, -4-(-6),\,1-0]=[-3,\,0,\,2,\,1].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 & -3 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora o pivô na coluna 3 já é 1 em R_3. Elimino a entrada 2 em R_4:
R_4 \leftarrow R_4 - 2R_3.
Calcule a parte direita de R_4:
[-3,0,2,1]-2[-2,1,1,0]=[-3+4,\,0-2,\,2-2,\,1-0]=[1,\,-2,\,0,\,1].
A matriz torna-se:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 8

Observação importante: a parte esquerda já é exatamente a matriz identidade I_4:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Isso significa que A é inversível (pois conseguimos transformar à esquerda em I sem encontrar pivô zero) e a parte direita atual é precisamente A^{-1}. Copiando a parte direita, temos:
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Verificação rápida (intuição): se multiplicarmos A por essa matriz à direita, obteremos I. Não vou multiplicar todos os termos aqui passo a passo (poderia ser feito como checagem), mas o algoritmo Gauss–Jordan garante que o resultado é correto porque transformamos [A\mid I] em [I\mid A^{-1}] usando operações reversíveis de linha.

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Exercícios relacionados