Se D é a matriz abaixo, para quais valores de beta a matriz escalonada reduzida da matriz D é a matriz identidade?
D=[cccc 1 & 0 & 2 & -3 12 & beta & -11 & 21 3 & 0 & -1 & 5 4 & 0 & 1 & beta ]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de beta tais que a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) da matriz D é a matriz identidade. O conteúdo envolvido é invertibilidade de matrizes e eliminação de Gauss — vamos usar que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero, pois toda matriz invertível reduzida por linhas gera a identidade.

Passo 2

Para que a RREF de D seja a identidade, precisamos de det(D)neq0. Vamos calcular det(D) aplicando operações de linha que não alteram o determinante. Primeiro, zeramos a coluna 1 abaixo de a11=1: subtrair 12 vezes a linha 1 da linha 2, 3 vezes a linha 1 da linha 3 e 4 vezes a linha 1 da linha 4.
Após essas operações temos:
1 & 0 & 2 & -3 0 & beta & -35 & 57 0 & 0 & -7 & 14 0 & 0 & -7 & beta+12
Em seguida, zeramos o elemento a43 subtraindo a linha 3 da linha 4 (operação que também não muda o determinante). A matriz fica triangular:
1 & 0 & 2 & -3 0 & beta & -35 & 57 0 & 0 & -7 & 14 0 & 0 & 0 & beta-2

Passo 3

Como agora é triangular, det(D)=1cdotbetacdot(-7)cdot(beta-2)=-7,beta,(beta-2) Portanto, det(D)neq0 se, e somente se, beta(beta-2)neq0, ou seja, betaneq0 e betaneq2.

Resposta

betaneq0 e betaneq2.

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