Se é a matriz abaixo, para quais valores de a matriz escalonada reduzida da matriz é a matriz identidade?
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de beta tais que a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) da matriz D é a matriz identidade. O conteúdo envolvido é invertibilidade de matrizes e eliminação de Gauss — vamos usar que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero, pois toda matriz invertível reduzida por linhas gera a identidade.
Passo 2
Para que a RREF de D seja a identidade, precisamos de det(D)neq0. Vamos calcular det(D) aplicando operações de linha que não alteram o determinante. Primeiro, zeramos a coluna 1 abaixo de a11=1: subtrair 12 vezes a linha 1 da linha 2, 3 vezes a linha 1 da linha 3 e 4 vezes a linha 1 da linha 4.
Após essas operações temos:
Como agora é triangular, det(D)=1cdotbetacdot(-7)cdot(beta-2)=-7,beta,(beta-2) Portanto, det(D)neq0 se, e somente se, beta(beta-2)neq0, ou seja, betaneq0 e betaneq2.