Seja
A=[llll 1 & 0 & 0 & 3 2 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 4 ]
(a) Calcule det A.
(b) Calcule .

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz quadrada 4×4
A=1 & 0 & 0 & 32 & 3 & 2 & 10 & 1 & 1 & 00 & 1 & 1 & 4
e pede (a) o determinante de A e (b) o determinante de
2A^5(A^t)^-1
Vamos precisar da definição de determinante por expansão de cofatores e das propriedades:
det(AB)=det(A)det(B)
det(A^n)=(det(A))^n
det(A^t)=det(A)
det(A^-1)=1/det(A)
det(cM)=c^ndet(M) para matriz ntimes n.

Passo 2

Para calcular det(A) expandimos pela primeira linha. Temos
det(A)=a11(-1)^1+1M11+a14(-1)^1+4M14=1cdot M11-3cdot M14
O menor M11 é o determinante da submatriz 3×3 obtida ao eliminar linha 1 e coluna 1:
M11=3 & 2 & 11 & 1 & 01 & 1 & 4 =3cdot1 & 01 & 4-2cdot1 & 01 & 4+1cdot1 & 11 & 1 =3cdot4-2cdot4+1cdot0=4
O menor M14 vem de eliminar linha 1 coluna 4:
M14=2 & 3 & 20 & 1 & 10 & 1 & 1=0
Logo
det(A)=1cdot4-3cdot0=4

Passo 3

Agora para detl(2A^5(A^t)^-1r) usamos as propriedades:
det(2A^5(A^t)^-1)=det(2A^5)cdotdetl((A^t)^-1r)
Como 2A^5=2Icdot A^5 e a matriz é 4×4, vale
det(2A^5)=2^4det(A^5)=16l(det(A)r)^5
e
detl((A^t)^-1r)=1/det(A^t)=1/det(A)
Então
det(2A^5(A^t)^-1)=16,det(A)^5cdot1det(A)=16,det(A)^4 =16cdot4^4=16cdot256=4096

Resposta

det(A)=4 e detl(2A^5(A^t)^-1r)=4096.

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