Seja
uma base e considere
e
.
(a) Para que valores de
o conjunto
é uma base?
(b) Nas condições do ítem anterior, calcule
de forma que
sejam LD.
(a) Para que valores de
(b) Nas condições do ítem anterior, calcule
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os valores de α que fazem F = {v₁,v₂,v₃} ser base de E e depois achar α e β tais que u=(1,1,1)ₑ e v=(2,β,1)𝗳 sejam linearmente dependentes.
Passo 2
Como F é base de E ⇔ os vetores v₁,v₂,v₃ são linearmente independentes ⇔ o determinante da matriz de passagem de E para F é ≠0. Vamos montar essa matriz em coordenadas de E.
Em coordenadas de E temos
A matriz de colunas é
Calculando det M por Laplace no 1º elemento da 1ª linha:
Passo 3
Logo F é base ⇔ det M≠0 ⇔
⇔
Passo 4
Agora (b): escrevemos v em coordenadas de E:
Para u=(1,1,1)ₑ e v serem LD, esses vetores devem ser proporcionais em E, isto é, devem existir λ tais que
Passo 5
Da 2ª equação vem λ=−3. Substituindo nas outras: 1+βα=−3 ⇒ βα=−4 ⇒ β=−4/α, e β−1=−3 ⇒ β=−2. Igualando β=−2 com β=−4/α dá α=2. Portanto β=−2 e α=2. Porém α=2 anula det M, logo F deixa de ser base se α=2.
Resposta
(a) α ≠ 2. (b) α = 2 e β = −2 (mas note que então F não é base, pois α=2 anula o determinante).