Seja v1=u1-u2, v2=alpha u1+u3 uma base e considere v3=-u1-u2-u3 e alpha.
(a) Para que valores de alpha, beta o conjunto u=(1,1,1)E e v=(2, beta, 1)F é uma base?
(b) Nas condições do ítem anterior, calcule de forma que sejam LD.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os valores de α que fazem F = {v₁,v₂,v₃} ser base de E e depois achar α e β tais que u=(1,1,1)ₑ e v=(2,β,1)𝗳 sejam linearmente dependentes.

Passo 2

Como F é base de E ⇔ os vetores v₁,v₂,v₃ são linearmente independentes ⇔ o determinante da matriz de passagem de E para F é ≠0. Vamos montar essa matriz em coordenadas de E.
Em coordenadas de E temos
v₁ = (1,-1,0), v₂=(α,0,1), v₃=(-1,-1,-1)
A matriz de colunas é
M=1&α&-1 -1&0&-10&1&-1
Calculando det M por Laplace no 1º elemento da 1ª linha:
det M = 1·det0&-11&-1-α·det-1&-10&-1+(-1)·det-1&00&1 = 1 - α + 1 = 2-α

Passo 3

Logo F é base ⇔ det M≠0 ⇔
2-αneq0

αneq2

Passo 4

Agora (b): escrevemos v em coordenadas de E:
v = 2v₁ + β v₂ + 1·v₃ = (1+βα)u₁ + (-3)u₂ + (β-1)u₃
Para u=(1,1,1)ₑ e v serem LD, esses vetores devem ser proporcionais em E, isto é, devem existir λ tais que
1+βα = λ, -3=λ, β-1=λ

Passo 5

Da 2ª equação vem λ=−3. Substituindo nas outras: 1+βα=−3 ⇒ βα=−4 ⇒ β=−4/α, e β−1=−3 ⇒ β=−2. Igualando β=−2 com β=−4/α dá α=2. Portanto β=−2 e α=2. Porém α=2 anula det M, logo F deixa de ser base se α=2.

Resposta

(a) α ≠ 2. (b) α = 2 e β = −2 (mas note que então F não é base, pois α=2 anula o determinante).

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