Questão 2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=4, da região limitada por y=1 / x, y=4 e x=4.

Passo 1

Estamos girando, em torno da reta y=4, a região limitada por
y=1x, y=4, x=4
O método mais direto é o dos discos (ou anéis com raio interno zero), porque as “fatias” perpendiculares ao eixo de rotação são discos de raio igual à distância entre o eixo y=4 e a curva y=1/x.

Passo 2

Precisamos dos limites em x. A curva y=1/x intersecta y=4 quando
1x=4Longrightarrow x=tfrac14
Portanto x varia de tfrac14 até 4.

Passo 3

Em cada fatia vertical, o raio do disco é
R(x)=l|;4-tfrac1x;r|=4-1x,
pois para xinl[tfrac14,4r] temos 1/x<=4.

Passo 4

O volume é
V=piintegralx=14^4l[R(x)r]^2,dx =piintegral14^4l(4-1xr)^2dx
Vamos expandir o integrando:
l(4-1xr)^2 =16-8x+1x^2

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
integrall(16-8x+1x^2r)dx =16x-8lnlvert xrvert-1x+C
Como x>0, podemos escrever ln|x|=ln x.

Passo 6

Avaliando de x=tfrac14 a x=4:
l[,16x-8ln x-tfrac1x,r]14^4 =l(64-8ln4-tfrac14r) -l(4-8lntfrac14-4r)
Note que lntfrac14=-ln4, logo
4-8(-ln4)-4=8ln4
Então
64-8ln4-tfrac14-(8ln4) =l(64-tfrac14r)-16ln4 =2554-16ln4

Passo 7

Multiplicando por pi, obtemos
V=pil(2554-16ln4r)

Resposta

V=pil(2554-16ln4r) =255pi4-16piln4

Exercícios relacionados