Uma matriz A é anti-simétrica se A^t=-A. Determine os valores de x, y e z para que
a martriz abaixo seja anti-simétrica. Completar a matriz.
[ccc 2-x & cdots & cdots x & y-1 & cdots y & z & 2 z+4 ]

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A=(aij)in M3times3 com entradas
A= 2-x & * & * x & y-1 & * y & z & 2z+4
e pede que A seja anti-simétrica, ou seja satisfaça
A^t = -A
Isso implica duas condições:
  1. Todas as entradas da diagonal principal devem ser zero: aii=0.
  2. Para ineq j, aij=-aji.

Passo 2

Impondo a condição nos elementos da diagonal:
a11=2-x=0, a22=y-1=0, a33=2z+4=0
Resolvendo cada uma:
2-x=0implies x=2, y-1=0implies y=1, 2z+4=0implies z=-2

Passo 3

Agora preenchemos as entradas fora da diagonal usando aij=-aji:
  • Como a21=x=2, então a12=-2.
  • Como a31=y=1, então a13=-1.
  • Como a32=z=-2, então a23=2.

Resposta

Os valores são
x=2, y=1, z=-2
e a matriz anti-simétrica completa é
A= 0 & -2 & -1 2 & 0 & 2 1 & -2 & 0

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