Mostre que a matriz
tal que
onde
é simétrica.
Passo 1
O enunciado define a matriz
com é simétrica, isto é, que
Passo 2
Vamos primeiro ver os elementos da diagonal (
). Nesse caso
e, claro,
de modo que todos os elementos diagonais satisfazem
.
Passo 3
Agora consideremos
. Então
Pela comutatividade da adição temos
, logo
Passo 4
Como cobrimos os dois casos — diagonal (
) e fora da diagonal (
) — mostramos que sempre
. Portanto
é simétrica.
Resposta
A matriz
satisfaz
, logo é simétrica.