Mostre que a matriz A=(ai j)3 x 3 tal que
a i j=l i+j-1, se i neq j i^2, se i=j,
onde i, j=1,2,3 é simétrica.

Passo 1

O enunciado define a matriz
com é simétrica, isto é, que

Passo 2

Vamos primeiro ver os elementos da diagonal ( i=j). Nesse caso
aii=i^2
e, claro,
aii=aii,
de modo que todos os elementos diagonais satisfazem aii=aii.

Passo 3

Agora consideremos ineq j. Então
aij=i+j-1 e aji=j+i-1
Pela comutatividade da adição temos i+j=j+i, logo
aij=i+j-1=j+i-1=aji

Passo 4

Como cobrimos os dois casos — diagonal ( i=j) e fora da diagonal ( ineq j) — mostramos que sempre aij=aji. Portanto A é simétrica.

Resposta

A matriz A satisfaz A^T=A, logo é simétrica.

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