Uma matriz quadrada A é chamada ortogonal se A^-1=A^t, ou equivalentemente A A^t=A^t A=In.
Prove que o determinante de uma matriz ortogonal é pm 1.

Passo 1

O enunciado diz que uma matriz quadrada A é ortogonal, ou seja satisfaz A{-1}=At (equivalentemente A·A^t=I_n). O que queremos provar é que o determinante de A é igual a +1 ou -1. Para isso vamos usar propriedades básicas de determinantes.

Passo 2

Primeiro lembramos que para qualquer matriz quadrada X vale det(XY)=det(X)det(Y), det(X^t)=det(X) e det(In)=1. Como A é ortogonal, temos

Passo 3

A,A^t=In

Passo 4

Aplicando determinante em ambos os lados,

Passo 5

det(A,A^t)=det(In)impliesdet(A),det(A^t)=1

Passo 6

Como det(A^t)=det(A), isso vira

Passo 7

det(A)^2=1

Passo 8

e daí

Passo 9

det(A)=pm1

Resposta

det(A)=pm1.

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