Uma matriz quadrada
é chamada ortogonal se
, ou equivalentemente
.
Prove que o determinante de uma matriz ortogonal é
.
Prove que o determinante de uma matriz ortogonal é
Passo 1
O enunciado diz que uma matriz quadrada A é ortogonal, ou seja satisfaz A{-1}=At (equivalentemente A·A^t=I_n). O que queremos provar é que o determinante de A é igual a +1 ou -1. Para isso vamos usar propriedades básicas de determinantes.
Passo 2
Primeiro lembramos que para qualquer matriz quadrada X vale
,
e
. Como A é ortogonal, temos
Passo 3
Passo 4
Aplicando determinante em ambos os lados,
Passo 5
Passo 6
Como
, isso vira
Passo 7
Passo 8
e daí