Se An times n é uma matriz antissimétrica mostre que det A^T=(-1)^n det A.

Passo 1

O enunciado diz que A é antissimétrica, ou seja
A^T = -A
Queremos mostrar que
det(A^T)=(-1)^n,det(A)
Para isso vamos precisar de duas propriedades básicas de determinante em matrizes ntimes n:
  1. det(A^T)=det(A).
  2. det(cA)=c^ndet(A) para qualquer escalar c.

Passo 2

Usando a propriedade da transposta, temos
det(A^T)=det(A)

Passo 3

Agora aplicamos a regra de escalar: para c=-1,
det(-A)=detl((-1)Ar)=(-1)^n,det(A)

Passo 4

Como A^T=-A, segue
det(A^T)=det(-A)=(-1)^n,det(A),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

det(A^T)=(-1)^n,det(A).

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