Se A é a matriz na base canônica de T: R^3 R^3, dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z), julgue as afirmativas:
(b) (0,1,0),(1,0,-1) é uma base da Im(T);

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (z,;x-y,;-z)
e pergunta se os vetores (0,1,0) e (1,0,-1) formam base de Im(T). Vamos usar a definição de imagem por colunas da matriz de T na base canônica e testar independência e geração.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores canônicos:
T(1,0,0) = (0,1,0),
T(0,1,0) = (0,-1,0),
T(0,0,1) = (1,0,-1).
Chamemos esses vetores de
v1=(0,1,0),
v2=(0,-1,0),
v3=(1,0,-1).

Passo 3

Observamos que
v2 = (0,-1,0) = -,v1,
logo v2 é redundante e
Im(T) = spanv1,v3 = span(0,1,0),,(1,0,-1)

Passo 4

Verificamos independência linear de (0,1,0),,(1,0,-1): se
a,(0,1,0) + b,(1,0,-1) = (0,0,0)
então (b,a,-b)=(0,0,0) implica b=0 e a=0. Portanto são independentes e geram Im(T).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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