Seja o operador linear dado por . Mostre que é um operador diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador linear definido por
é diagonalizável.
Para isso, vamos escrever a matriz de na base canônica, encontrar seus autovalores e autovetores, e verificar que há uma base de formada por autovetores.
Resolvendo lambda^2+lambda-2=0 pelo fórmula de Bhaskara:
lambda=-1pmraiz1+82 =-1pm32,
portanto os autovalores são
lambda1=1 e lambda2=-2
Passo 4
Agora achamos vetores próprios:
Para , resolvemos
Da primeira linha vem , isto é . Um autovetor associado é, por exemplo,
Para , resolvemos
daí , logo . Podemos escolher
Passo 5
Os vetores v1=(1,1) e v2=(4,1) são linearmente independentes e são autovetores de T. Como temos dois autovetores independentes em R^2, eles formam uma base desse espaço. Portanto T é diagonalizável.