Seja T: R^2 R^2 o operador linear dado por T(x, y)=(-3 x+4 y,-x+2 y). Mostre que T é um operador diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador linear
T:R^2toR^2 definido por
T(x,y)=(-3x+4y,,-x+2y)
é diagonalizável.
Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica, encontrar seus autovalores e autovetores, e verificar que há uma base de R^2 formada por autovetores.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, a matriz de T é
A = -3 & 4 -1 & 2
O polinômio característico é dado por
det(A - lambda I) =det! -3-lambda & 4 -1 & 2-lambda =(-3-lambda)(2-lambda)-4(-1)
Fazendo as contas:
(-3-lambda)(2-lambda)=lambda^2+lambda-6,
logo
det(A-lambda I) =lambda^2+lambda-6+4 =lambda^2+lambda-2

Passo 3

Resolvendo lambda^2+lambda-2=0 pelo fórmula de Bhaskara:
lambda=-1pmraiz1+82 =-1pm32,
portanto os autovalores são
lambda1=1 e lambda2=-2

Passo 4

Agora achamos vetores próprios:
Para , resolvemos
Da primeira linha vem , isto é . Um autovetor associado é, por exemplo,
Para , resolvemos
daí , logo . Podemos escolher

Passo 5

Os vetores v1=(1,1) e v2=(4,1) são linearmente independentes e são autovetores de T. Como temos dois autovetores independentes em R^2, eles formam uma base desse espaço. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

T é um operador diagonalizável.

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