Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:
O enunciado dá a identidade a ser provada para determinantes 2\times2. Os dados explícitos são os elementos das duas linhas (ou colunas) da matriz: \mathrm{a}_1,\mathrm{a}_2,\mathrm{b}_1,\mathrm{b}_2,\mathrm{c}_1,\mathrm{c}_2. A pergunta implícita é: mostrar que
Vou provar isso passo a passo e te ensinar por que a propriedade vale, de forma que você consiga reproduzir na prova.
Passo 2
Lembrete prático: a definição do determinante de uma matriz 2\times2 é simples e essencial. Para uma matriz
\begin{pmatrix} x & y\\[4pt] z & w \end{pmatrix}
o determinante é
\det\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix}=xw-yz.
Aqui cada letra representa um número (ou uma expressão), e a fórmula diz: multiplica-se o elemento da primeira linha pela segunda linha da coluna oposta e subtrai-se o produto dos outros dois. Essa fórmula vem da definição padrão para 2\times2 e é fácil de usar sem calculadora.]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante à matriz do lado esquerdo da identidade que queremos provar, tomamos
Interpretação didática curta: o que acabamos de mostrar é que o determinante é linear em cada coluna (ou em cada linha) — aqui demonstrado para a segunda coluna. Linearidade significa duas coisas: (i) aditividade: \det(\cdot,\;C_2+C_3)=\det(\cdot,\;C_2)+\det(\cdot,\;C_3) e (ii) homogeneidade: \det(\cdot,\;kC)=k\det(\cdot,\;C) para escalares k. No caso 2\times2 tudo isso decorre diretamente da distributividade usada acima.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (fazendo as contas passo a passo): tome \mathrm{a}_1=1,\mathrm{a}_2=2,\mathrm{b}_1=3,\mathrm{b}_2=4,\mathrm{c}_1=5,\mathrm{c}_2=6.
Calcule a esquerda: