Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:
\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{2} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{c}_{2} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá a identidade a ser provada para determinantes 2\times2. Os dados explícitos são os elementos das duas linhas (ou colunas) da matriz: \mathrm{a}_1,\mathrm{a}_2,\mathrm{b}_1,\mathrm{b}_2,\mathrm{c}_1,\mathrm{c}_2. A pergunta implícita é: mostrar que
\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{c}_{2} \end{array}\right|.
Vou provar isso passo a passo e te ensinar por que a propriedade vale, de forma que você consiga reproduzir na prova.

Passo 2

Lembrete prático: a definição do determinante de uma matriz 2\times2 é simples e essencial. Para uma matriz
\begin{pmatrix} x & y\\[4pt] z & w \end{pmatrix}
o determinante é
\det\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix}=xw-yz.
Aqui cada letra representa um número (ou uma expressão), e a fórmula diz: multiplica-se o elemento da primeira linha pela segunda linha da coluna oposta e subtrai-se o produto dos outros dois. Essa fórmula vem da definição padrão para 2\times2 e é fácil de usar sem calculadora.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à matriz do lado esquerdo da identidade que queremos provar, tomamos
x=\mathrm{a}_1,\quad y=\mathrm{b}_1+\mathrm{c}_1,\quad z=\mathrm{a}_2,\quad w=\mathrm{b}_2+\mathrm{c}_2.
Portanto
\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{2} \end{array}\right| = \mathrm{a}_1(\mathrm{b}_2+\mathrm{c}_2)-\mathrm{a}_2(\mathrm{b}_1+\mathrm{c}_1).

Passo 4

Agora usamos a distributividade da multiplicação sobre a adição (regra básica de álgebra) para expandir cada produto:
\mathrm{a}_1(\mathrm{b}_2+\mathrm{c}_2)=\mathrm{a}_1\mathrm{b}_2+\mathrm{a}_1\mathrm{c}_2, \qquad \mathrm{a}_2(\mathrm{b}_1+\mathrm{c}_1)=\mathrm{a}_2\mathrm{b}_1+\mathrm{a}_2\mathrm{c}_1.
Substituindo na expressão do determinante:
\mathrm{a}_1(\mathrm{b}_2+\mathrm{c}_2)-\mathrm{a}_2(\mathrm{b}_1+\mathrm{c}_1) = (\mathrm{a}_1\mathrm{b}_2-\mathrm{a}_2\mathrm{b}_1)+(\mathrm{a}_1\mathrm{c}_2-\mathrm{a}_2\mathrm{c}_1).

Passo 5

Agora reconhecemos cada um dos parênteses como determinantes 2\times2 separados, usando a fórmula do Passo 2:
\mathrm{a}_1\mathrm{b}_2-\mathrm{a}_2\mathrm{b}_1 = \left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} \end{array}\right|, \qquad \mathrm{a}_1\mathrm{c}_2-\mathrm{a}_2\mathrm{c}_1 = \left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{c}_{2} \end{array}\right|.
Somando esses dois determinantes obtemos exatamente a igualdade desejada:
\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{2} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{c}_{2} \end{array}\right|.

Passo 6

Interpretação didática curta: o que acabamos de mostrar é que o determinante é linear em cada coluna (ou em cada linha) — aqui demonstrado para a segunda coluna. Linearidade significa duas coisas: (i) aditividade: \det(\cdot,\;C_2+C_3)=\det(\cdot,\;C_2)+\det(\cdot,\;C_3) e (ii) homogeneidade: \det(\cdot,\;kC)=k\det(\cdot,\;C) para escalares k. No caso 2\times2 tudo isso decorre diretamente da distributividade usada acima.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (fazendo as contas passo a passo): tome \mathrm{a}_1=1, \mathrm{a}_2=2, \mathrm{b}_1=3, \mathrm{b}_2=4, \mathrm{c}_1=5, \mathrm{c}_2=6.
Calcule a esquerda:
\left|\begin{array}{ll} 1 & 3+5\\[4pt] 2 & 4+6 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} 1 & 8\\[4pt] 2 & 10 \end{array}\right| =1\cdot10-2\cdot8=10-16=-6.
Calcule os dois determinantes à direita:
\left|\begin{array}{ll} 1 & 3\\[4pt] 2 & 4 \end{array}\right| =1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2, \qquad \left|\begin{array}{ll} 1 & 5\\[4pt] 2 & 6 \end{array}\right| =1\cdot6-2\cdot5=6-10=-4.
Somando -2+(-4)=-6, que coincide com o lado esquerdo — perfeitinho.]

Resposta

\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}+\mathrm{c}_{2} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{c}_{2} \end{array}\right|

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