A matriz é nilpotente? Caso afirmativo, qual é seu índice?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & -3 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -3 & -4
é nilpotente, isto é, se existe kinN tal que A^k=0. Caso seja, queremos o menor k, chamado de índice de nilpotência. Para isso, usaremos a definição de nilpotência e exploraremos a estrutura de posto 1 desta matriz.
Passo 2
Observe que as linhas de A satisfazem linha3 = linha1 e linha2 = -,linha1. Logo rank(A)<=1 e podemos escrevê-la como
A = u,v^T,
onde escolhemos
u = 1-11, v^T = l(1,,-3,,-4r)
De fato, u,v^T tem entrada (i,j) igual a ui,vj, que coincide com Aij.
Passo 3
Para uma matriz de posto 1 da forma A = u,v^T vale