A matriz (ccc1 & -3 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -3 & -4) é nilpotente? Caso afirmativo, qual é seu índice?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & -3 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -3 & -4
é nilpotente, isto é, se existe kinN tal que A^k=0. Caso seja, queremos o menor k, chamado de índice de nilpotência. Para isso, usaremos a definição de nilpotência e exploraremos a estrutura de posto 1 desta matriz.

Passo 2

Observe que as linhas de A satisfazem
linha3 = linha1 e linha2 = -,linha1. Logo rank(A)<=1 e podemos escrevê-la como
A = u,v^T,
onde escolhemos
u = 1-11, v^T = l(1,,-3,,-4r)
De fato, u,v^T tem entrada (i,j) igual a ui,vj, que coincide com Aij.

Passo 3

Para uma matriz de posto 1 da forma A = u,v^T vale
A^2 = (u,v^T)(u,v^T) = u,(v^T u),v^T = (v^T u),A
Calculemos o escalar v^T u:
v^T u = (1)(1) + (-3)(-1) + (-4)(1) = 1 + 3 - 4 = 0
Portanto
A^2 = 0cdot A = 0

Passo 4

Como Aneq0 mas A^2=0, concluímos que A é nilpotente e que o menor expoente que zera A é k=2.

Resposta

A matriz é nilpotente e seu índice de nilpotência é 2.

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