Seja u um vetor não-nulo em V. Mostre que |R v|=|v|, para todo v in V.

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço vetorial real V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, e dado um vetor não-nulo uin V define-se o operador de reflexão
R(v)=2,lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u - v
Queremos mostrar que R preserva normas, isto é, |R(v)|=|v| para todo vin V. Para isso vamos usar a decomposição ortogonal de v em componentes paralela e ortogonal a u.

Passo 2

Definimos a projeção ortogonal de v sobre u como
p = proju(v) ;=;lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
e a componente ortogonal
w = v - p
Pelo teorema da projeção ortogonal, p e w são ortogonais, ou seja,
lang<= p,wrang<= = 0
e portanto
v = p + w, lang<= v,vrang<= = lang<= p,prang<= + lang<= w,wrang<=

Passo 3

Usando a definição de R, temos
R(v) = 2,p - v = 2,p - (p + w) = p - w
Logo a reflexão troca o sinal da componente ortogonal e mantém a paralela.

Passo 4

Agora calculamos o quadrado da norma de R(v) usando a ortogonalidade de p e w:
|R(v)|^2 = |p - w|^2 = lang<= p - w,;p - wrang<= = lang<= p,prang<= ;-;2lang<= p,wrang<= ;+;lang<= w,wrang<= = lang<= p,prang<= + lang<= w,wrang<=
Como lang<= p,wrang<==0, isto coincide com
lang<= p,prang<= + lang<= w,wrang<= = |p+w|^2 = |v|^2

Resposta

Portanto, para todo vin V vale
|R(v)| = |v|,
como queríamos demonstrar.

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