Seja u um vetor não-nulo em
. Mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço vetorial real
com produto interno
, e dado um vetor não-nulo
define-se o operador de reflexão
Queremos mostrar que
preserva normas, isto é,
para todo
. Para isso vamos usar a decomposição ortogonal de
em componentes paralela e ortogonal a
.
Passo 2
Definimos a projeção ortogonal de
sobre
como
e a componente ortogonal
Pelo teorema da projeção ortogonal,
e
são ortogonais, ou seja,
e portanto
Passo 3
Usando a definição de
, temos
Logo a reflexão troca o sinal da componente ortogonal e mantém a paralela.
Passo 4
Agora calculamos o quadrado da norma de
usando a ortogonalidade de
e
:
Como
, isto coincide com
Resposta
Portanto, para todo
vale
como queríamos demonstrar.