Mostre que se A é uma matriz antissimétrica nxn, e n ímpar, então |A|=0.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz antissimétrica de ordem ntimes n com n ímpar, ou seja,
A^T = -A
e queremos mostrar que
det(A) = 0
Para isso vamos usar duas propriedades básicas de determinantes:
  1. det(A^T)=det(A).
  2. det(cA)=c^ndet(A) para qualquer escalar c.

Passo 2

Como det(A^T)=det(A) e A^T=-A, temos
det(A) =det(A^T) =det(-A)

Passo 3

Pela propriedade de homogeneidade do determinante,
det(-A)=(-1)^ndet(A)
Como n é ímpar, (-1)^n=-1, logo
det(-A) = -det(A)

Passo 4

Juntando os resultados de antes:
det(A)=det(-A)=-det(A)
Isso implica
det(A) + det(A) = 0 Longrightarrow 2,det(A)=0 Longrightarrow det(A)=0

Resposta

det(A)=0

Exercícios relacionados