Se A é uma matriz qualquer, o que é tr(A A^T) ? Conclua que tr(A A^T) >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
trl(A A^Tr)
e mostrar que esse valor é não-negativo.
Os conteúdos que vamos usar são a definição de traço (soma das entradas diagonais) e a regra de multiplicação de matrizes (entrada–por–entrada).

Passo 2

Pela definição de traço,
trl(A A^Tr) =sumi(A A^T)ii

Passo 3

Pela regra de multiplicação de matrizes, a entrada diagonal (A A^T)ii é
(A A^T)ii =sumkAik,(A^T)ki =sumkAik,Aik =sumkAik^2
Logo
trl(A A^Tr) =sumisumkAik^2 =sumi,kAik^2

Passo 4

Como cada termo Aik^2 é maior ou igual a zero (quadrado de número real), a soma também é não-negativa. Logo
trl(A A^Tr)>=0

Resposta

trl(A A^Tr) =sumi,kAik^2 e portanto trl(A A^Tr)>=0

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