Seja u um vetor não-nulo em
. Mostre que a reflexão
em torno da reta
gerada por
é dada por
Passo 1
O enunciado descreve a reflexão
em torno da reta
. O conteúdo aqui é decompor qualquer vetor
em parte paralela a
e parte ortogonal a
, e usar a definição de reflexão: ela deixa a componente paralela inalterada e inverte o sinal da componente ortogonal.
Passo 2
Qualquer vetor
pode ser escrito unicamente como
onde
é a projeção ortogonal de
sobre
e
é ortogonal a
. Pela fórmula da projeção,
Passo 3
Pela definição de reflexão em torno de
, temos
pois a parte paralela permanece igual e a parte ortogonal troca de sinal.
Passo 4
Substituindo
na expressão acima resulta
Passo 5
Finalmente, voltando à fórmula de
,
que é exatamente a expressão desejada.