Seja u um vetor não-nulo em V. Mostre que a reflexão R: V V em torno da reta ell gerada por u é dada por
R v=2 lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u-v

Passo 1

O enunciado descreve a reflexão Rcolon Vto V em torno da reta ell=span u. O conteúdo aqui é decompor qualquer vetor v em parte paralela a u e parte ortogonal a u, e usar a definição de reflexão: ela deixa a componente paralela inalterada e inverte o sinal da componente ortogonal.

Passo 2

Qualquer vetor vin V pode ser escrito unicamente como
v = vparal<=l + vperp,
onde vparal<=l é a projeção ortogonal de v sobre ell e vperp é ortogonal a u. Pela fórmula da projeção,
vparal<=l = lang<= v, urang<=lang<= u, urang<=, u, vperp = v - vparal<=l

Passo 3

Pela definição de reflexão em torno de ell, temos
R( v) = vparal<=l - vperp,
pois a parte paralela permanece igual e a parte ortogonal troca de sinal.

Passo 4

Substituindo vperp = v - vparal<=l na expressão acima resulta
R( v) = vparal<=l - l( v - vparal<=lr) = 2, vparal<=l - v

Passo 5

Finalmente, voltando à fórmula de vparal<=l,
R( v) = 2lang<= v, urang<=lang<= u, urang<=, u ;-; v,
que é exatamente a expressão desejada.

Resposta

R v = 2,lang<= v, urang<=lang<= u, urang<=, u ;-; v

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