Uma matriz é chamada ensaboada se e tem o mesmo determinante que . Por exemplo, a matriz é ensaboada. Dê um exemplo, se existir, de matriz ensaboada com determinante 2019.
Passo 1
O enunciado pede uma matriz
A = a & b c & d
com aneq b que satisfaz
det A = detb & a c & d
O conteúdo é determinante de matriz 2times2 e condição de igualdade após trocar a e b.
Passo 2
Calculemos as duas determinantes:
det A = ad - bc,
det A' = detb & a c & d = bd - ac
Igualando-as,
ad - bc = bd - ac
Passo 3
Reescrevendo
ad - bd = bc - ac Longrightarrow (a - b),d = (b - a),c = -(a - b),c,
logo
(a - b),(d + c) = 0
Como aneq b, segue d + c = 0, isto é
d = -c
Passo 4
Com d=-c, a determinante vira
det A = ad - bc = a(-c) - b,c = -(a + b),c
Queremos det A = 2019, logo
-(a + b),c = 2019
Passo 5
Para dar um exemplo inteiro e simples, escolha a+b=1. Então
-(1),c = 2019 Longrightarrow c = -2019,
e assim
d = -c = 2019
Basta ainda garantir aneq b; por exemplo, a=1 e b=0.