Uma matriz (lla & b c & d) é chamada ensaboada se a neq b e A tem o mesmo determinante que (llb & a c & d). Por exemplo, a matriz (cc1 & 2 0 & 0) é ensaboada. Dê um exemplo, se existir, de matriz ensaboada com determinante 2019.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz
A = a & b c & d
com aneq b que satisfaz
det A = detb & a c & d
O conteúdo é determinante de matriz 2times2 e condição de igualdade após trocar a e b.

Passo 2

Calculemos as duas determinantes:
det A = ad - bc,
det A' = detb & a c & d = bd - ac
Igualando-as,
ad - bc = bd - ac

Passo 3

Reescrevendo
ad - bd = bc - ac Longrightarrow (a - b),d = (b - a),c = -(a - b),c,
logo
(a - b),(d + c) = 0
Como aneq b, segue d + c = 0, isto é
d = -c

Passo 4

Com d=-c, a determinante vira
det A = ad - bc = a(-c) - b,c = -(a + b),c
Queremos det A = 2019, logo
-(a + b),c = 2019

Passo 5

Para dar um exemplo inteiro e simples, escolha a+b=1. Então
-(1),c = 2019 Longrightarrow c = -2019,
e assim
d = -c = 2019
Basta ainda garantir aneq b; por exemplo, a=1 e b=0.

Passo 6

Substituindo,
A = 1 & 0 -2019 & 2019
Verificamos
det A = 1cdot2019 - 0cdot(-2019) = 2019
e ao trocar a e b obtemos
det0 & 1-2019 & 2019 = 0cdot2019 - 1cdot(-2019) = 2019,
logo é ensaboada.

Resposta

Um exemplo de matriz ensaboada com determinante 2019 é
1 & 0 -2019 & 2019

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