Uma matriz quadrada B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B^2=A.
Encontre todas as raizes quadradas de (cc25 & 0 0 & 4).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 25 & 0 0 & 4
e pede todas as matrizes B tais que B^2 = A.
O conteúdo é raiz quadrada de matriz diagonal e iremos usar a propriedade de que, por A ter autovalores distintos, qualquer raiz quadrada de A comuta com A e, portanto, é diagonal na mesma base.

Passo 2

Como A já é diagonal com autovalores 25 e 4, toda matriz B que comute com A também é diagonal:
B = x & 0 0 & y

Passo 3

Impondo B^2 = A temos
B^2 = x^2 & 0 0 & y^2 Longrightarrow x^2 = 25, ;y^2 = 4
Logo x = pm 5 e y = pm 2.

Passo 4

Há assim quatro combinações de sinais, produzindo exatamente quatro raízes quadradas de A.

Resposta

5 & 0 0 & 2 , 5 & 0 0 & -2 , -5 & 0 0 & 2 , -5 & 0 0 & -2

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