Quando uma matriz diagonal 5 \times 5 é inversível? Quando uma matriz triangular superior 5 \times 5 é inversível? É possível estender este resultado em geral?

Passo 1

O enunciado pergunta quando uma matriz diagonal de dimensão 5\times5 é inversível e quando uma matriz triangular superior de dimensão 5\times5 é inversível. O conteúdo principal é álgebra linear, mais precisamente o critério de invertibilidade via determinante de uma matriz quadrada.

Passo 2

Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, \det(A)\neq0. Esse é o critério geral que vamos aplicar aos dois casos.

Passo 3

Considere uma matriz diagonal de ordem 5
D = \mathrm{diag}(d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5})\!.
O determinante de D é
\det(D)=d_{1}\,d_{2}\,d_{3}\,d_{4}\,d_{5}.
Portanto D é inversível \Leftrightarrow\det(D)\neq0\Leftrightarrow d_{i}\neq0 para todo i=1,\dots,5. Nesse caso, a inversa é
D^{-1}=\mathrm{diag}\bigl(d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},d_{3}^{-1},d_{4}^{-1},d_{5}^{-1}\bigr).

Passo 4

Agora seja U uma matriz triangular superior de ordem 5, isto é, (U)_{ij}=0 para i>j. Também vale o fato de que
\det(U)=u_{11}\,u_{22}\,\cdots\,u_{55},
ou seja, o determinante de qualquer matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo U é inversível \Leftrightarrow\det(U)\neq0\Leftrightarrow u_{ii}\neq0 para todo i=1,\dots,5. Além disso, quando existe, U^{-1} é também triangular superior.

Passo 5

O mesmo argumento vale para qualquer matriz triangular (superior ou inferior) de dimensão n\times n: ela é inversível se, e somente se, todos os elementos da diagonal principal forem não nulos. A matriz diagonal é apenas o caso particular em que todos os elementos fora da diagonal também são zero.

Resposta

  • Uma matriz diagonal 5\times5 é inversível se, e somente se, todos os elementos da diagonal forem não nulos.
  • Uma matriz triangular superior 5\times5 é inversível se, e somente se, todos os elementos da diagonal forem não nulos.
  • Em geral, para qualquer matriz triangular n\times n (incluindo a diagonal), a condição de invertibilidade é exatamente que todos os elementos da diagonal principal sejam não nulos.

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