Quando uma matriz diagonal
é inversível? Quando uma matriz triangular superior
é inversível? É possível estender este resultado em geral?
Passo 1
O enunciado pergunta quando uma matriz diagonal de dimensão
é inversível e quando uma matriz triangular superior de dimensão
é inversível. O conteúdo principal é álgebra linear, mais precisamente o critério de invertibilidade via determinante de uma matriz quadrada.
Passo 2
Uma matriz quadrada
é inversível se, e somente se,
. Esse é o critério geral que vamos aplicar aos dois casos.
Passo 3
Considere uma matriz diagonal de ordem
O determinante de
é
Portanto
é inversível
para todo
. Nesse caso, a inversa é
Passo 4
Agora seja
uma matriz triangular superior de ordem
, isto é,
para
. Também vale o fato de que
ou seja, o determinante de qualquer matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo
é inversível
para todo
. Além disso, quando existe,
é também triangular superior.
Passo 5
O mesmo argumento vale para qualquer matriz triangular (superior ou inferior) de dimensão
: ela é inversível se, e somente se, todos os elementos da diagonal principal forem não nulos. A matriz diagonal é apenas o caso particular em que todos os elementos fora da diagonal também são zero.
Resposta
- Uma matriz diagonal
é inversível se, e somente se, todos os elementos da diagonal forem não nulos. - Uma matriz triangular superior
é inversível se, e somente se, todos os elementos da diagonal forem não nulos. - Em geral, para qualquer matriz triangular
(incluindo a diagonal), a condição de invertibilidade é exatamente que todos os elementos da diagonal principal sejam não nulos.