( 3,0 pontos) Imagine uma firma que atua em 2 mercados distintos. A demanda inversa do produto dessa firma em um mercado i=1,2 é dada por p_{i}\left(q_{i}\right)=A_{i} f\left(q_{i}\right), onde A_{i}>0 é um parâmetro específico da demanda do i-ésimo mercado e q_{i} é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que f é comum aos dois mercados. A função custo da firma é dada por c(Q), onde Q \equiv q_{1}+q_{2}. Assuma que f e c são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso, f^{\prime}(\cdot)<0, c^{\prime}(Q)>0 e c^{\prime \prime}(Q) \geq 0. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades q_{1}^{*} e q_{2}^{*} que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
\pi\left(q_{1}, q_{2}\right)=A_{1} f\left(q_{1}\right) q_{1}+A_{2} f\left(q_{2}\right) q_{2}-c\left(q_{1}+q_{2}\right)
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e mostre qual condição deve ser satisfeita pelo hessiano para que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) ( 1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, encontre o impacto de um aumento marginal em A_{1} sobre q_{1}^{*} e q_{2}^{*}. Você consegue determinar o sinal desses impactos? Explique.

Passo 1

O enunciado descreve uma firma que vende em dois mercados com demanda inversa em cada mercado dada por
p_{i}(q_{i})=A_{i}\,f(q_{i}),\quad i=1,2
e custo total c(Q) com Q=q_{1}+q_{2}. O lucro é
\pi(q_{1},q_{2})=A_{1}f(q_{1})\,q_{1}+A_{2}f(q_{2})\,q_{2}-c(q_{1}+q_{2}).
Queremos: (a) condições de primeira ordem (FOC); (b) Hessiano e condição de máximo estrito; (c) variações \partial q_{i}^*/\partial A_{1} via teorema da função implícita e regra de Cramer, e seus sinais.

Passo 2

Para maximizar \pi, igualamos a zero as derivadas parciais:
\frac{\partial \pi}{\partial q_{i}} = A_{i}\bigl(f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr)\;-\;c'(q_{1}+q_{2}) =0,\quad i=1,2.
Em outras palavras, em equilíbrio de segundo grau em cada mercado vale
\text{MR}_{i}(q_{i})\equiv A_{i}\bigl(f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr) \;=\;c'(Q).

Passo 3

O Hessiano de \pi em (q_{1},q_{2}) é a matriz
H=\begin{pmatrix} \pi_{11} & \pi_{12}\\[6pt] \pi_{21} & \pi_{22} \end{pmatrix}
com
\pi_{11} = A_{1}\bigl(2f'(q_{1})+q_{1}f''(q_{1})\bigr)\;-\;c''(Q), \quad \pi_{22} = A_{2}\bigl(2f'(q_{2})+q_{2}f''(q_{2})\bigr)\;-\;c''(Q),
\pi_{12}=\pi_{21}=-\,c''(Q).
Para que o ponto crítico seja estritamente máximo global, H deve ser definida negativa. No caso 2\times2, isso equivale a
\pi_{11}<0 \quad\text{e}\quad \det(H)=\pi_{11}\,\pi_{22}-\bigl(\pi_{12}\bigr)^{2}>0.]

Passo 4

Definimos as funções
F_{1}(q_{1},q_{2},A_{1}) = A_{1}\bigl(f(q_{1})+q_{1}f'(q_{1})\bigr)-c'(q_{1}+q_{2})=0,
F_{2}(q_{1},q_{2}) = A_{2}\bigl(f(q_{2})+q_{2}f'(q_{2})\bigr)-c'(q_{1}+q_{2})=0.
Pelo teorema da função implícita,
\begin{pmatrix} \partial q_{1}/\partial A_{1}\\[3pt] \partial q_{2}/\partial A_{1} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} F_{1q_{1}} & F_{1q_{2}}\\[3pt] F_{2q_{1}} & F_{2q_{2}} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} F_{1A_{1}}\\[3pt] F_{2A_{1}} \end{pmatrix}.
Calculamos:
F_{1A_{1}}=f(q_{1})+q_{1}f'(q_{1}),\quad F_{2A_{1}}=0,
F_{1q_{1}}=A_{1}\bigl(2f'(q_{1})+q_{1}f''(q_{1})\bigr)-c''(Q),\quad F_{1q_{2}}=-\,c''(Q),
F_{2q_{1}}=-\,c''(Q),\quad F_{2q_{2}}=A_{2}\bigl(2f'(q_{2})+q_{2}f''(q_{2})\bigr)-c''(Q).
Usando regra de Cramer obtém-se
\frac{\partial q_{1}}{\partial A_{1}} = -\frac{(f(q_{1})+q_{1}f'(q_{1}))\,F_{2q_{2}}}{\det J}, \quad \frac{\partial q_{2}}{\partial A_{1}} = \frac{(f(q_{1})+q_{1}f'(q_{1}))\,F_{2q_{1}}}{\det J},
onde \det J>0 sob definição negativa de H. Como em equilíbrio
f(q_{1})+q_{1}f'(q_{1}) =\frac{c'(Q)}{A_{1}}>0 \quad\text{e}\quad F_{2q_{2}}<0,\;\;F_{2q_{1}}=-c''(Q)\le0,
segue-se
\frac{\partial q_{1}}{\partial A_{1}}>0, \quad \frac{\partial q_{2}}{\partial A_{1}}<0.]

Resposta

(a) \displaystyle A_{i}\bigl(f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr)-c'(q_{1}+q_{2})=0,\;i=1,2.
(b) Hessiano \;H_{11}=A_{1}(2f'+q_{1}f'')-c'',\;H_{22}=A_{2}(2f'+q_{2}f'')-c'',\;H_{12}=-c'', deve ser definido negativo: \;H_{11}<0 e \det(H)>0.
(c) \displaystyle \frac{\partial q_{1}^*}{\partial A_{1}} >0,\quad \frac{\partial q_{2}^*}{\partial A_{1}} <0.

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