( 3,0 pontos) Imagine uma firma que atua em 2 mercados distintos. A demanda inversa do produto dessa firma em um mercado
é dada por
, onde
é um parâmetro específico da demanda do
-ésimo mercado e
é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que
é comum aos dois mercados. A função custo da firma é dada por
, onde
. Assuma que
e
são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso,
e
. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades
e
que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e mostre qual condição deve ser satisfeita pelo hessiano para que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) ( 1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, encontre o impacto de um aumento marginal em
sobre
e
. Você consegue determinar o sinal desses impactos? Explique.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e mostre qual condição deve ser satisfeita pelo hessiano para que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) ( 1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, encontre o impacto de um aumento marginal em
Passo 1
O enunciado descreve uma firma que vende em dois mercados com demanda inversa em cada mercado dada por
e custo total
com
. O lucro é
Queremos: (a) condições de primeira ordem (FOC); (b) Hessiano e condição de máximo estrito; (c) variações
via teorema da função implícita e regra de Cramer, e seus sinais.
Passo 2
Para maximizar
, igualamos a zero as derivadas parciais:
Em outras palavras, em equilíbrio de segundo grau em cada mercado vale
Passo 3
O Hessiano de
em
é a matriz
com
Para que o ponto crítico seja estritamente máximo global,
deve ser definida negativa. No caso
, isso equivale a
Passo 4
Definimos as funções
Pelo teorema da função implícita,
Calculamos:
Usando regra de Cramer obtém-se
onde
sob definição negativa de
. Como em equilíbrio
segue-se
Resposta
(a)
(b) Hessiano deve ser definido negativo:
e
(c)
(b) Hessiano
(c)