Para a matriz A=(cc3 & -4 2 & -6), encontre:
a) os autovalores e os correspondentes autovetores;
b) as matrizes P e D tais que P seja invertível e D=P^-1 A P seja diagonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & -4 2 & -6
e pede (a) os autovalores e autovetores e (b) uma diagonalização A = PDP^-1. Para isso vamos usar que os autovalores lambda são as raízes do polinômio característico det(A-lambda I)=0 e, para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para achar o autovetor v.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I) = det3-lambda & -4 2 & -6-lambda = (3-lambda)(-6-lambda)-(-4)cdot2 = lambda^2+3lambda-10
As raízes de lambda^2+3lambda-10=0 são
lambda = 2 e lambda = -5

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
1. Se lambda=2,
A-2I = 1 & -4 2 & -8,
daí v1-4v2=0, escolhemos v2=1 e obtemos o autovetor
v^(1) = 41
2. Se lambda=-5,
A+5I = 8 & -4 2 & -1,
daí 8v1-4v2=0, escolhemos v2=2 para ficar inteiro e obtemos
v^(2) = 12

Passo 4

Colocamos essas colunas em P e formamos D com os autovalores na diagonal:
P = 4 & 1 1 & 2, D = 2 & 0 0 & -5
Verifique que det(P)=4cdot2-1cdot1=7neq0, logo P é invertível e satisfaz
P^-1AP = D

Resposta

a) Os autovalores são lambda1=2 com autovetor l(4,1r)^T e lambda2=-5 com autovetor l(1,2r)^T.
b) Uma escolha de diagonalização é
P = 4 & 1 1 & 2, D = 2 & 0 0 & -5,
com P invertível e P^-1AP = D.

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