Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss-Jordan na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[llll1 & -1 & 2 & 1 2 & -1 & 4 & 4 1 & -1 & 3 & 4 1 & -1 & 2 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa de uma matriz usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e operações com elas. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz aumentada e realizar as operações necessárias para transformar a matriz original na identidade, o que vai nos levar à inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada [A | I], onde A é a matriz que queremos inverter e I é a matriz identidade do mesmo tamanho. No nosso caso, A é uma matriz 4x4, então I também será 4x4.
A =
llll 1 & -1 & 2 & 1 2 & -1 & 4 & 4 1 & -1 & 3 & 4 1 & -1 & 2 & 2
I =
llll 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Então, a matriz aumentada [A | I] fica:
[llll|llll 1 & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & -1 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (A) na matriz identidade usando operações de linha. Essas operações incluem:
  1. Trocar linhas: Mudar a posição de duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos começar pela primeira coluna.

Passo 4

A primeira entrada na primeira coluna já é 1, o que é ótimo. Agora, queremos zerar os outros elementos da primeira coluna.
  • Linha 2: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
L2 = L2 - 2 times L1
  • Linha 3: Vamos subtrair a Linha 1 da Linha 3.
L3 = L3 - L1
  • Linha 4: Vamos subtrair a Linha 1 da Linha 4.
L4 = L4 - L1
Depois dessas operações, a matriz fica:
[llll|llll 1 & -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento na segunda coluna seja 1 (já está) e que os outros elementos na segunda coluna sejam 0.
Observando a matriz, os outros elementos na segunda coluna já são 0, então não precisamos fazer mais nada aqui.

Passo 6

Seguimos para a terceira coluna. O terceiro elemento na terceira coluna já é 1. Vamos zerar os outros elementos dessa coluna.
  • Linha 1: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 3 da Linha 1.
L1 = L1 - 2 times L3
  • Linha 2: Já está zero, não precisa mudar.
  • Linha 4: Já está zero, não precisa mudar.
Depois dessas operações, a matriz fica:
[llll|llll 1 & -1 & 0 & -5 & 3 & 0 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 7

Por último, vamos trabalhar na quarta coluna. Queremos que o quarto elemento na quarta coluna seja 1 (já está) e que os outros elementos dessa coluna sejam 0.
  • Linha 1: Vamos adicionar 5 vezes a Linha 4 à Linha 1.
L1 = L1 + 5 times L4
  • Linha 2: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 4 da Linha 2.
L2 = L2 - 2 times L4
  • Linha 3: Vamos subtrair 3 vezes a Linha 4 da Linha 3.
L3 = L3 - 3 times L4
Após essas operações, a matriz fica:
[llll|llll 1 & -1 & 0 & 0 & -2 & 0 & -2 & 5 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 8

Agora, precisamos garantir que todas as outras posições além da diagonal principal sejam zero. Vamos ajustar a segunda linha para zerar o -1 na primeira linha.
  • Linha 1: Vamos adicionar a Linha 2 à Linha 1.
L1 = L1 + L2
Depois dessa operação, a matriz fica:
[llll|llll 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & -2 & 3 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Resposta

Pronto! A matriz identidade está do lado esquerdo, e do lado direito temos a inversa de A. Então, a inversa de A é:
A^-1 = llll -2 & 1 & -2 & 3 0 & 1 & 0 & -2 2 & 0 & 1 & -3 -1 & 0 & 0 & 1

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