Se uma matriz
é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss-Jordan na matriz
encontraremos
, onde
é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa de uma matriz usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e operações com elas. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz aumentada e realizar as operações necessárias para transformar a matriz original na identidade, o que vai nos levar à inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada [A | I], onde A é a matriz que queremos inverter e I é a matriz identidade do mesmo tamanho. No nosso caso, A é uma matriz 4x4, então I também será 4x4.
A =
I =
Então, a matriz aumentada [A | I] fica:
Passo 3
Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (A) na matriz identidade usando operações de linha. Essas operações incluem:
- Trocar linhas: Mudar a posição de duas linhas.
- Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
- Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos começar pela primeira coluna.
Passo 4
A primeira entrada na primeira coluna já é 1, o que é ótimo. Agora, queremos zerar os outros elementos da primeira coluna.
- Linha 2: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
- Linha 3: Vamos subtrair a Linha 1 da Linha 3.
- Linha 4: Vamos subtrair a Linha 1 da Linha 4.
Depois dessas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento na segunda coluna seja 1 (já está) e que os outros elementos na segunda coluna sejam 0.
Observando a matriz, os outros elementos na segunda coluna já são 0, então não precisamos fazer mais nada aqui.
Passo 6
Seguimos para a terceira coluna. O terceiro elemento na terceira coluna já é 1. Vamos zerar os outros elementos dessa coluna.
- Linha 1: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 3 da Linha 1.
-
Linha 2: Já está zero, não precisa mudar.
-
Linha 4: Já está zero, não precisa mudar.
Depois dessas operações, a matriz fica:
Passo 7
Por último, vamos trabalhar na quarta coluna. Queremos que o quarto elemento na quarta coluna seja 1 (já está) e que os outros elementos dessa coluna sejam 0.
- Linha 1: Vamos adicionar 5 vezes a Linha 4 à Linha 1.
- Linha 2: Vamos subtrair 2 vezes a Linha 4 da Linha 2.
- Linha 3: Vamos subtrair 3 vezes a Linha 4 da Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 8
Agora, precisamos garantir que todas as outras posições além da diagonal principal sejam zero. Vamos ajustar a segunda linha para zerar o -1 na primeira linha.
- Linha 1: Vamos adicionar a Linha 2 à Linha 1.
Depois dessa operação, a matriz fica:
Resposta
Pronto! A matriz identidade está do lado esquerdo, e do lado direito temos a inversa de A. Então, a inversa de A é: