Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan:
lx1+2 x2-3 x4+x5-2=0 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=3 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6-4=0 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma forma mais simples para encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar conhecer um pouco de álgebra linear, principalmente como manipular matrizes e usar operações elementares para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma mais organizada:
x1 + 2x2 - 3x4 + x5 - 2 = 0 x1 + 2x2 + x3 - 3x4 + x5 + 2x6 = 3 x1 + 2x2 - 3x4 + 2x5 + x6 - 4 = 0 3x1 + 6x2 + x3 - 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9
Vamos rearrumar as equações para igualar a zero, exceto a segunda e a quarta:
x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 2 x1 + 2x2 + x3 - 3x4 + x5 + 2x6 = 3 x1 + 2x2 - 3x4 + 2x5 + x6 = 4 3x1 + 6x2 + x3 - 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & | & 3 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & | & 4 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & | & 9

Passo 4

O objetivo da eliminação de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde cada linha tem um único 1 e zeros acima e abaixo dele. Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha (pivô) igual a 1, o que já está feito.

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô. Subtraímos a primeira linha das linhas 2, 3 e 4 para zerar os elementos na primeira coluna dessas linhas.
Linha 2 - Linha 1:
(1-1) (2-2) (1-0) (-3 - (-3)) (1-1) (2-0) | (3-2) 0 0 1 0 0 2 | 1
Linha 3 - Linha 1:
(1-1) (2-2) (0-0) (-3 - (-3)) (2-1) (1-0) | (4-2) 0 0 0 0 1 1 | 2
Linha 4 - 3 * Linha 1:
(3-3) (6-6) (1-0) (-9 - (-9)) (4-3) (3-0) | (9-6) 0 0 1 0 1 3 | 3
A matriz agora fica:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & | & 3

Passo 6

Vamos agora focar no segundo pivô, que está na terceira coluna da segunda linha. Já temos um 1 aí. Vamos eliminar os elementos acima e abaixo desse pivô.
Primeiro, subtraímos a segunda linha da quarta linha para zerar o elemento na terceira coluna da quarta linha:
Linha 4 - Linha 2:
(0-0) (0-0) (1-1) (0-0) (1-0) (3-2) | (3-1) 0 0 0 0 1 1 | 2
Agora, nossa matriz fica:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2

Passo 7

Observamos que a terceira e a quarta linhas são iguais, o que indica que temos uma equação redundante. Vamos focar nas três primeiras linhas para simplificar.
A terceira linha já tem um pivô na quinta coluna. Vamos usá-lo para eliminar outros elementos nessa coluna. Mas, como as primeiras linhas já estão com zeros nessa coluna, não precisamos fazer mais nada.

Passo 8

Agora, temos a matriz:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2
Vamos expressar cada equação a partir dessa matriz:
  1. x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 2
  2. x3 + 2x6 = 1
  3. x5 + x6 = 2

Passo 9

Vamos resolver a partir da terceira equação:
x5 + x6 = 2 implies x5 = 2 - x6
Agora, substituímos x5 na segunda equação:
x3 + 2x6 = 1 implies x3 = 1 - 2x6

Passo 10

Agora, substituímos x5 = 2 - x6 na primeira equação:
x1 + 2x2 - 3x4 + (2 - x6) = 2 implies x1 + 2x2 - 3x4 - x6 = 0 implies x1 = -2x2 + 3x4 + x6

Passo 11

Até aqui, identificamos que algumas variáveis podem ser livres, ou seja, podem assumir qualquer valor. Vamos definir x2 = s , x4 = t e x6 = u , onde s , t e u são parâmetros livres.
Assim, temos:
x1 = -2s + 3t + u x2 = s x3 = 1 - 2u x4 = t x5 = 2 - u x6 = u

Resposta

A solução do sistema é dada por:
x1 = -2s + 3t + u x2 = s x3 = 1 - 2u x4 = t x5 = 2 - u x6 = u
Onde s , t e u são números reais quaisquer.

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