Use a eliminação de Gauss para encontrar os valores de a e b para que o sistema tenha: (a) uma única solução; (b) infinitas soluções e (c) não tenha solução:
l 2 x+3 y+z-w=2 2 x+4 y+3 z+2 w=3 2 x+3 y+2 z+2 w=4 4 x+6 y+2 z+(b-4) w =a+9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss. A questão pede para encontrar os valores de a e b de forma que o sistema tenha:
(a) Uma única solução;
(b) Infinitas soluções;
(c) Nenhuma solução.
Para isso, vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss, que é um método para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
2 & 3 & 1 & -1 & | & 2 2 & 4 & 3 & 2 & | & 3 2 & 3 & 2 & 2 & | & 4 4 & 6 & 2 & (b-4) & | & a+9
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, onde os números antes da barra vertical são os coeficientes das incógnitas x, y, z, w , e os números depois são os termos constantes.

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o elemento na posição (1,1) , neste caso, 2). Para fazer isso, subtrairemos a primeira linha das outras para eliminar o x das equações seguintes.
Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira:
Linha 2 - Linha 1:
(2-2)x + (4-3)y + (3-1)z + (2-(-1))w = 3-2 0x + 1y + 2z + 3w = 1
Linha 3 - Linha 1:
(2-2)x + (3-3)y + (2-1)z + (2-(-1))w = 4-2 0x + 0y + 1z + 3w = 2
Para a quarta linha, vamos subtrair duas vezes a primeira linha para eliminar o x :
Linha 4 - 2 * Linha 1:
4x - 2*2x + 6y - 2*3y + 2z - 2*1z + (b-4)w - 2*(-1)w = (a+9) - 2*2 0x + 0y + 0z + (b-4 + 2)w = a+5 0x + 0y + 0z + (b-2)w = a+5
Nossa matriz agora fica:
2 & 3 & 1 & -1 & | & 2 0 & 1 & 2 & 3 & | & 1 0 & 0 & 1 & 3 & | & 2 0 & 0 & 0 & (b-2) & | & a+5

Passo 4

Agora, observamos a última linha da matriz. Ela nos dá a equação:
(b-2)w = a + 5
Vamos analisar cada caso:

(a) Uma única solução

Para que o sistema tenha uma única solução, precisamos que a última equação seja válida e que b - 2 neq 0 , ou seja, b neq 2 . Assim, podemos resolver para w :
w = a + 5b - 2
Portanto, para ter uma única solução, basta que b neq 2 .

(b) Infinitas soluções

Para ter infinitas soluções, a última linha deve não fornecer nenhuma informação nova, ou seja, 0w = 0 . Isso acontece quando:
b - 2 = 0 e a + 5 = 0
Resolvendo:
b = 2 e a = -5

(c) Nenhuma solução

Para não haver solução, a última equação deve ser inconsistente, ou seja, 0w = algo diferente de 0 . Isso ocorre quando:
b - 2 = 0 e a + 5 neq 0
Resolvendo:
b = 2 e a neq -5

Resposta

(a) O sistema tem uma única solução se b neq 2 .
(b) O sistema tem infinitas soluções se b = 2 e a = -5 .
(c) O sistema não tem solução se b = 2 e a neq -5 .

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