Use a eliminação de Gauss para encontrar os valores de e para que o sistema tenha: (a) uma única solução; (b) infinitas soluções e (c) não tenha solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss. A questão pede para encontrar os valores de a e b de forma que o sistema tenha:
(a) Uma única solução;
(b) Infinitas soluções;
(c) Nenhuma solução.
Para isso, vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss, que é um método para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, onde os números antes da barra vertical são os coeficientes das incógnitas x, y, z, w , e os números depois são os termos constantes.
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o elemento na posição (1,1) , neste caso, 2). Para fazer isso, subtrairemos a primeira linha das outras para eliminar o x das equações seguintes.
Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira:
Agora, observamos a última linha da matriz. Ela nos dá a equação:
(b-2)w = a + 5
Vamos analisar cada caso:
(a) Uma única solução
Para que o sistema tenha uma única solução, precisamos que a última equação seja válida e que b - 2 neq 0 , ou seja, b neq 2 . Assim, podemos resolver para w :
w = a + 5b - 2
Portanto, para ter uma única solução, basta que b neq 2 .
(b) Infinitas soluções
Para ter infinitas soluções, a última linha deve não fornecer nenhuma informação nova, ou seja, 0w = 0 . Isso acontece quando:
b - 2 = 0 e a + 5 = 0
Resolvendo:
b = 2 e a = -5
(c) Nenhuma solução
Para não haver solução, a última equação deve ser inconsistente, ou seja, 0w = algo diferente de 0 . Isso ocorre quando:
b - 2 = 0 e a + 5 neq 0
Resolvendo:
b = 2 e a neq -5
Resposta
(a) O sistema tem uma única solução se b neq 2 .
(b) O sistema tem infinitas soluções se b = 2 e a = -5 .
(c) O sistema não tem solução se b = 2 e a neq -5 .