Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss-Jordan na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[rrrr-1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a inversa de uma matriz usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e operações com elas. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar a matriz aumentada [A mid I], onde I é a matriz identidade, e então aplicar as operações de linha para transformar A na identidade I. No final, o que estava na posição de I se tornará A^-1, a inversa da matriz A.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada [A mid I]. A matriz A dada é:
A = -1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1
E a matriz identidade I de ordem 4 é:
I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Então, a matriz aumentada [A mid I] fica:
-1 & 0 & -1 & 0 & vert & 1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & vert & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & vert & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & vert & 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada (que é A) na matriz identidade I. Para isso, vamos usar operações de linha: multiplicar uma linha por um número, trocar linhas, ou somar múltiplos de uma linha a outra. Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1.
Como o primeiro elemento é -1, vamos multiplicar a primeira linha por -1:
L1 = -1 times L1
Isso nos dá:
1 & 0 & 1 & 0 & vert & -1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & vert & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & vert & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & vert & 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Ou seja, queremos que os elementos da primeira coluna nas linhas 2, 3 e 4 sejam zero.
Para isso, fazemos:
  • L2 = L2 - 5 times L1
  • L3 = L3 - 2 times L1
  • L4 = L4 - 3 times L1
Aplicando essas operações:
Para L2:
5 - 5 times 1 = 0, 4 - 5 times 0 = 4, 0 - 5 times 1 = -5, 1 - 5 times 0 = 1
Parte direita: 0 - 5 times (-1) = 5, 1 - 5 times 0 = 1, 0 - 5 times 0 = 0, 0 - 5 times 0 = 0
Para L3:
2 - 2 times 1 = 0, 0 - 2 times 0 = 0, 1 - 2 times 1 = -1, 0 - 2 times 0 = 0
Parte direita: 0 - 2 times (-1) = 2, 0 - 2 times 0 = 0, 1 - 2 times 0 = 1, 0 - 2 times 0 = 0
Para L4:
3 - 3 times 1 = 0, 2 - 3 times 0 = 2, 0 - 3 times 1 = -3, 1 - 3 times 0 = 1
Parte direita: 0 - 3 times (-1) = 3, 0 - 3 times 0 = 0, 0 - 3 times 0 = 0, 1 - 3 times 0 = 1
A matriz fica então:
1 & 0 & 1 & 0 & vert & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & -5 & 1 & vert & 5 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & vert & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & 1 & vert & 3 & 0 & 0 & 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos que o segundo elemento na segunda linha seja 1. Atualmente, está 4, então vamos dividir a segunda linha por 4:
L2 = 14 times L2
Isso resulta em:
1 & 0 & 1 & 0 & vert & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -54 & 14 & vert & 54 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & vert & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & 1 & vert & 3 & 0 & 0 & 1

Passo 6

Vamos zerar os outros elementos na segunda coluna. Precisamos que acima e abaixo do 1 na segunda coluna sejam zeros.
Para isso:
  • L1 = L1 - 0 times L2 (não precisa mudar, já está 0)
  • L3 = L3 - 0 times L2 (também já está 0)
  • L4 = L4 - 2 times L2
Aplicando em L4:
0 - 2 times 0 = 0, 2 - 2 times 1 = 0, -3 - 2 times (-54) = -3 + 52 = -12, 1 - 2 times 14 = 1 - 12 = 12
Parte direita: 3 - 2 times 54 = 3 - 52 = 12, 0 - 2 times 14 = -12, 0 - 2 times 0 = 0, 1 - 2 times 0 = 1
A matriz fica:
1 & 0 & 1 & 0 & vert & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -54 & 14 & vert & 54 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & vert & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -12 & 12 & vert & 12 & -12 & 0 & 1

Passo 7

Agora, focamos na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento na terceira linha seja 1. Atualmente, está -1, então multiplicamos a terceira linha por -1:
L3 = -1 times L3
Ficamos com:
1 & 0 & 1 & 0 & vert & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -54 & 14 & vert & 54 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & vert & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & -12 & 12 & vert & 12 & -12 & 0 & 1

Passo 8

Vamos zerar os outros elementos na terceira coluna:
  • L1 = L1 - 1 times L3
  • L2 = L2 + 54 times L3
  • L4 = L4 + 12 times L3
Aplicando essas operações:
Para L1:
1 - 1 times 0 = 1, 0 - 1 times 0 = 0, 1 - 1 times 1 = 0, 0 - 1 times 0 = 0
Parte direita: -1 - 1 times (-2) = -1 + 2 = 1, 0 - 1 times 0 = 0, 0 - 1 times (-1) = 1, 0 - 1 times 0 = 0
Para L2:
0 + 54 times 0 = 0, 1 + 54 times 0 = 1, -54 + 54 times 1 = 0, 14 + 54 times 0 = 14
Parte direita: 54 + 54 times (-2) = 54 - 104 = -54, 14 + 54 times 0 = 14, 0 + 54 times (-1) = -54, 0 + 54 times 0 = 0
Para L4:
0 + 12 times 0 = 0, 0 + 12 times 0 = 0, -12 + 12 times 1 = 0, 12 + 12 times 0 = 12
Parte direita: 12 + 12 times (-2) = 12 - 1 = -12, -12 + 12 times 0 = -12, 0 + 12 times (-1) = -12, 1 + 12 times 0 = 1
A matriz agora é:
1 & 0 & 0 & 0 & vert & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 14 & vert & -54 & 14 & -54 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & vert & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 12 & vert & -12 & -12 & -12 & 1

Passo 9

Por fim, vamos ajustar a quarta coluna. Queremos que o elemento na quarta linha e quarta coluna seja 1. Atualmente, está 12, então multiplicamos a quarta linha por 2:
L4 = 2 times L4
Obtemos:
1 & 0 & 0 & 0 & vert & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 14 & vert & -54 & 14 & -54 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & vert & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & vert & -1 & -1 & -1 & 2
Agora, vamos zerar os demais elementos na quarta coluna:
  • L1 = L1 - 0 times L4 (já está 0)
  • L2 = L2 - 14 times L4
  • L3 = L3 - 0 times L4 (já está 0)
Aplicando em L2:
0 - 14 times 0 = 0, 1 - 14 times 0 = 1, 0 - 14 times 0 = 0, 14 - 14 times 1 = 0
Parte direita: -54 - 14 times (-1) = -54 + 14 = -1, 14 - 14 times (-1) = 14 + 14 = 12, -54 - 14 times (-1) = -54 + 14 = -1, 0 - 14 times 2 = -12
A matriz final fica:
1 & 0 & 0 & 0 & vert & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & vert & -1 & 12 & -1 & -12 0 & 0 & 1 & 0 & vert & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & vert & -1 & -1 & -1 & 2

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 12 & -1 & -12 -2 & 0 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 & 2

Exercícios relacionados