Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss-Jordan na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[rrrr2 & 0 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 3]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve encontrar a inversa de uma matriz usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, precisamos entender como aplicar esse método em uma matriz aumentada [A mid I], onde A é a matriz original e I é a matriz identidade. Nosso objetivo é transformar A em I, o que fará com que I se transforme em A^-1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada [A mid I]. A matriz A dada é:
A = 2 & 0 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 3
E a matriz identidade I de ordem 4 é:
I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Então, a matriz aumentada [A mid I] fica:
[cccc|cccc 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O próximo passo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada (a matriz A) na matriz identidade I usando operações elementares de linha. Cada operação aplicada na parte esquerda será também aplicada na parte direita.
Operação 1: Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
R1 = 12 R1
Resultado:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Operação 2: Eliminamos o primeiro elemento das outras linhas para formar zeros abaixo e acima do 1 na posição (1,1) .
  • Para a segunda linha ( R2 ):
R2 = R2 - 2 times R1
  • Para a terceira linha ( R3 ):
R3 = R3 + R1
  • A quarta linha ( R4 ) já tem 0 na primeira coluna, então não precisamos alterar.
Aplicando as operações:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, olhamos para a segunda coluna. Já temos um 1 na posição (2,2) . Vamos usar isso para eliminar os demais elementos dessa coluna.
Operação 3: Garantir que todos os outros elementos na segunda coluna sejam 0.
  • Todas as outras linhas já têm 0 na segunda coluna, então não precisamos fazer mais nada aqui.

Passo 6

Passamos para a terceira coluna. Temos um 1 na posição (3,3) . Vamos usar isso para eliminar os elementos acima e abaixo desse 1.
Operação 4: Eliminamos o elemento na linha 4, coluna 3.
R4 = R4 - 2 times R3
Aplicando:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & -2 & 1 ]

Passo 7

Agora, focamos na quarta coluna. Precisamos transformar o elemento (4,4) em 1.
Operação 5: Dividimos a quarta linha por 2.
R4 = 12 R4
Resultado:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 & 0 & -1 & 0.5 ]

Passo 8

Agora, usamos o 1 na posição (4,4) para eliminar os outros elementos na quarta coluna.
Operação 6: Eliminamos os elementos nas posições (1,4) , (2,4) e (3,4) .
  • Para a primeira linha ( R1 ):
R1 = R1 + 0.5 times R4
  • Para a segunda linha ( R2 ):
R2 = R2 - 1 times R4
  • Para a terceira linha ( R3 ):
R3 = R3 - 0.5 times R4
Aplicando as operações:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.25 & 0 & -0.5 & 0.25 0 & 1 & 0 & 0 & -0.5 & 1 & 1 & -0.5 0 & 0 & 1 & 0 & 0.75 & 0 & 1.5 & -0.25 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 & 0 & -1 & 0.5 ]

Passo 9

Agora, a parte esquerda da matriz aumentada é a matriz identidade I , e a parte direita é a matriz inversa A^-1 . Portanto, a inversa da matriz A é:
A^-1 = 0.25 & 0 & -0.5 & 0.25 -0.5 & 1 & 1 & -0.5 0.75 & 0 & 1.5 & -0.25 -0.5 & 0 & -1 & 0.5

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = 0.25 & 0 & -0.5 & 0.25 -0.5 & 1 & 1 & -0.5 0.75 & 0 & 1.5 & -0.25 -0.5 & 0 & -1 & 0.5

Exercícios relacionados