Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de Gauss ou eliminação de Gauss-Jordan:
lx1-x2+2 x3+x4-3 x5=1 -2 x1+x2-x4+x5=2

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares, onde temos duas equações com cinco incógnitas: x1, x2, x3, x4 e x5. A matéria que vamos usar para resolver isso se chama Eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações e encontrar as soluções possíveis. Para resolver esse sistema, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e então aplicar a eliminação para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 -2 & 1 & 0 & -1 & 1 & | & 2
Cada linha representa uma equação, e cada coluna representa os coeficientes das incógnitas x1 a x5, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar a matriz usando a eliminação de Gauss. O objetivo é ter coeficientes 1 na diagonal principal e zeros abaixo deles. Começamos com a primeira coluna:
  • Já temos um 1 na posição (1,1), bom!
  • Vamos usar essa linha para eliminar o -2 na posição (2,1). Para fazer isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à segunda linha.
Operação: Linha2 = Linha2 + 2 times Linha1
Vamos calcular:
-2 + 2 times 1 &= 0 1 + 2 times (-1) &= -1 0 + 2 times 2 &= 4 -1 + 2 times 1 &= 1 1 + 2 times (-3) &= -5 2 + 2 times 1 &= 4
Então, a nova matriz fica:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 0 & -1 & 4 & 1 & -5 & | & 4

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos -1, então vamos multiplicar a segunda linha por -1 para conseguir isso.
Operação: Linha2 = -1 times Linha2
Isso resulta em:
1 & -1 & 2 & 1 & -3 & | & 1 0 & 1 & -4 & -1 & 5 & | & -4

Passo 5

Agora que temos um 1 na posição (2,2), vamos usar essa linha para eliminar o -1 na posição (1,2). Para isso, somamos a segunda linha à primeira linha.
Operação: Linha1 = Linha1 + Linha2
Calculando:
1 + 0 &= 1 -1 + 1 &= 0 2 + (-4) &= -2 1 + (-1) &= 0 -3 + 5 &= 2 1 + (-4) &= -3
A matriz atualizada fica:
1 & 0 & -2 & 0 & 2 & | & -3 0 & 1 & -4 & -1 & 5 & | & -4

Passo 6

Agora, observamos que temos duas equações simplificadas:
x1 - 2x3 + 2x5 = -3 x2 - 4x3 - x4 + 5x5 = -4
Como temos cinco incógnitas e apenas duas equações, isso significa que vamos ter variáveis livres. Vamos escolher x3, x4 e x5 como variáveis livres, atribuindo a elas parâmetros.
Vamos chamar:
x3 &= t x4 &= s x5 &= r
Agora, expressamos x1 e x2 em termos dessas variáveis livres.

Passo 7

A partir da primeira equação:
x1 - 2x3 + 2x5 = -3 Rightarrow x1 = -3 + 2x3 - 2x5 Rightarrow x1 = -3 + 2t - 2r
Da segunda equação:
x2 - 4x3 - x4 + 5x5 = -4 Rightarrow x2 = -4 + 4x3 + x4 - 5x5 Rightarrow x2 = -4 + 4t + s - 5r

Passo 8

Então, juntando tudo, as soluções do sistema são:
x1 = -3 + 2t - 2r x2 = -4 + 4t + s - 5r x3 = t x4 = s x5 = r
Onde t, s e r podem ser quaisquer números reais. Isso significa que há infinitas soluções para o sistema, expressas em termos desses parâmetros livres.

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -3 + 2t - 2r x2 = -4 + 4t + s - 5r x3 = t x4 = s x5 = r
Onde t, s e r são números reais quaisquer.

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