Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de Gauss ou eliminação de Gauss-Jordan:
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares, onde temos duas equações com cinco incógnitas: x1, x2, x3, x4 e x5. A matéria que vamos usar para resolver isso se chama Eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações e encontrar as soluções possíveis. Para resolver esse sistema, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e então aplicar a eliminação para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
Cada linha representa uma equação, e cada coluna representa os coeficientes das incógnitas x1 a x5, com a última coluna sendo os termos constantes.
Passo 3
Agora, vamos começar a simplificar a matriz usando a eliminação de Gauss. O objetivo é ter coeficientes 1 na diagonal principal e zeros abaixo deles. Começamos com a primeira coluna:
Já temos um 1 na posição (1,1), bom!
Vamos usar essa linha para eliminar o -2 na posição (2,1). Para fazer isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à segunda linha.
Operação: Linha2 = Linha2 + 2 times Linha1
Vamos calcular:
-2 + 2 times 1 &= 0 1 + 2 times (-1) &= -1 0 + 2 times 2 &= 4 -1 + 2 times 1 &= 1 1 + 2 times (-3) &= -5 2 + 2 times 1 &= 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos -1, então vamos multiplicar a segunda linha por -1 para conseguir isso.
Agora, observamos que temos duas equações simplificadas:
x1 - 2x3 + 2x5 = -3 x2 - 4x3 - x4 + 5x5 = -4
Como temos cinco incógnitas e apenas duas equações, isso significa que vamos ter variáveis livres. Vamos escolher x3, x4 e x5 como variáveis livres, atribuindo a elas parâmetros.
Vamos chamar:
x3 &= t x4 &= s x5 &= r
Agora, expressamos x1 e x2 em termos dessas variáveis livres.
x1 = -3 + 2t - 2r x2 = -4 + 4t + s - 5r x3 = t x4 = s x5 = r
Onde t, s e r podem ser quaisquer números reais. Isso significa que há infinitas soluções para o sistema, expressas em termos desses parâmetros livres.
Resposta
As soluções do sistema são:
x1 = -3 + 2t - 2r x2 = -4 + 4t + s - 5r x3 = t x4 = s x5 = r