Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes Mn times n(C), ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[cc3 & 2 -1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = 3 & 2 -1 & 0
em M2(C), o polinômio característico chiA(lambda), todos os autovalores e uma base para cada autoespaço. Vamos usar a definição
chiA(lambda)=det(A-lambda I)
e resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o determinante
chiA(lambda) = detl(A - lambda Ir) = det3-lambda & 2 -1 & -lambda = (3-lambda)(-lambda) - (2cdot(-1)) = -3lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 3lambda + 2

Passo 3

Encontramos os autovalores resolvendo
lambda^2 - 3lambda + 2 = 0 Longrightarrow (lambda-1)(lambda-2)=0
Logo, os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2.

Passo 4

Para
Dessa forma , e um vetor genérico é .
Uma base de é
.

Passo 5

Para
Aqui .
Uma base de é
.

Resposta

chiA(lambda)=lambda^2-3lambda+2
Os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2.
Bases dos autoespaços:
Para lambda=1: ,(-1,1).
Para lambda=2: ,(-2,1).

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