Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes Mn times n(C), ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[cc-2 & -7 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e uma base para cada autoespaço da matriz
A = -2 & -7 1 & 2
O conteúdo envolve cálculo de determinante de A - lambda I, solução da equação característica e resolução de sistemas lineares para encontrar vetores próprios.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
p(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det -2-lambda & -7[6pt] 1 & 2-lambda =(-2-lambda)(2-lambda)-(-7)cdot1 =lambda^2+3 ]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
p(lambda)=lambda^2+3=0 Longrightarrow lambda^2=-3 Longrightarrow lambda=pm iraiz3

Passo 4

Para , resolvemos , isto é
Da primeira linha escolhemos e obtemos
Logo um vetor próprio é .]

Passo 5

Para lambda2=-iraiz3 repetimos o procedimento. Com y=1 vem
x=-72+lambda2 =-72+iraiz34+3 =-(2+iraiz3) =-2-iraiz3,
de modo que um vetor próprio é -2-iraiz31.

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^2+3
Os autovalores são
lambda1 = iraiz3, lambda2 = -iraiz3
Bases dos autoespaços:
Eiraiz3=span!l-2 + iraiz31r, E-iraiz3=span!l-2 - iraiz31r

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