Para as seguintes matrizes no espaço de matrizes Mn times n(C), ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[ccc2 & -1 & 3 1 & 1 & -1 1 & -2 & 4]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de A, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço. O conteúdo é Diagonalização (ou espectro) de matrizes: precisamos calcular det(A-lambda I), resolver p(lambda)=0 para achar os autovalores e, para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para obter uma base do autoespaço.

Passo 2

Para obter o polinômio característico, montamos A-lambda I e calculamos o determinante:
A-lambda I = 2-lambda & -1 & 3 1 & 1-lambda & -1 1 & -2 & 4-lambda
Usando a expansão de Laplace na primeira linha,
det(A-lambda I) =(2-lambda)l[(1-lambda)(4-lambda)-(-1)(-2)r] -(-1)l[1cdot(4-lambda)-(-1)cdot1r] +3l[1cdot(-2)-(1-lambda)cdot1r]
Desenvolvendo cada termo e somando, chega-se a
det(A-lambda I) =-lambda^3+7lambda^2-10lambda

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
-lambda^3+7lambda^2-10lambda =-lambda(lambda^2-7lambda+10) =-lambda(lambda-2)(lambda-5)
Assim, os autovalores são
lambda1=0, lambda2=2, lambda3=5

Passo 4

Para
Da segunda equação vem , ou . Então . Um vetor próprio é
escolhendo para eliminar frações, uma base do autoespaço de é

Passo 5

Para resolvemos , ou
Da primeira equação . Da segunda . A terceira é compatível. Logo
e uma base para o autoespaço de é

Passo 6

Para resolvemos , ou
Da primeira equação vem . Da segunda leva a . Então . Um vetor próprio é
e uma base do autoespaço de é

Resposta

Polinômio característico:
det(A-lambda I)=-lambda(lambda-2)(lambda-5)
Autovalores: lambda=0,2,5.
Base dos autoespaços:
lambda=0colon(-2,5,3),
lambda=2colon(4,3,1),
lambda=5colon(1,0,1).

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